Question

【題目】已知函數(shù)（）.

（1）若，求曲線在處切線的斜率；

（2）求的單調區(qū)間；

（3）設，若對任意，均存在，使得，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；（3）.

【解析】試題分析：（1）由導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率；（2）先求導，再分別就 求出單調區(qū)間，主要函數(shù) 的定義域；（3）將已知條件轉化為 ，再分別由單調性求出它們的最大值，進而求出的范圍.

試題解析：

（1）由已知（），則.

故曲線在處切線的斜率為3；

（2） （）.

①當時，由于，故，

所以， 的單調遞增區(qū)間為.

②當時，由，得.

在區(qū)間上， ，在區(qū)間上，

所以，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，

單調遞減區(qū)間為；

（3）由已知，轉化為 ，

因為 ， ，

所以

由（2）知，當時， 在上單調遞增，值域為，故不符合題意.

當時， 在上單調遞增，在上單調遞減，

故的極大值即為最大值， ，

所以，解得.