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        1. 如圖,在底面是正方形的四棱錐P—ABCD中,PA⊥面ABCD,BD交AC于點E,F(xiàn)是PC中點,G為AC上一點.

          (1)求證:BD⊥FG;
          (2)確定點G在線段AC上的位置,使FG//平面PBD,并說明理由.
          (3)當二面角B—PC—D的大小為時,求PC與底面ABCD所成角的正切值.

          (1)根據(jù)題意,由于面ABCD,四邊形ABCD是正方形,結(jié)合其性質(zhì)可知PA⊥BD,AC⊥BD,進而得到證明。
          (2)當G為EC中點    (3)

          解析試題分析:解:方法一:(I)面ABCD,四邊形ABCD是正方形,
          其對角線BD,AC交于點E,∴PA⊥BD,AC⊥BD   
          ∴BD⊥平面APC,平面PAC,
          ∴BD⊥FG        3分
          (II)當G為EC中點,即時,F(xiàn)G//平面PBD, 4分
          理由如下:
          連接PE,由F為PC中點,G為EC中點,知FG//PE,
          而FG平面PBD,PB平面PBD, 故FG//平面PBD.    7分
          (III)作BH⊥PC于H,連結(jié)DH,
          ∵PA⊥面ABCD,四邊形ABCD是正方形,
          ∴PB=PD,
          又∵BC=DC,PC=PC,
          ∴△PCB≌△PCD,
          ∴DH⊥PC,且DH=BH,
          ∴∠BHD主是二面角B—PC—D的平面角,    9分

          ∵PA⊥面ABCD,
          ∴∠PCA就是PC與底面ABCD所成的角   10分
          連結(jié)EH,則



          ∴PC與底面ABCD所成角的正切值是…………12分
          方法二解:以A為原點,AB,AD,PA所在的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系如圖所示,

          設(shè)正方形ABCD的邊長為1,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0)
          D(0,1,0),P(0,0,a)(a>0),
          (I)

              …………3分
          (II)要使FG//平面PBD,只需FG//EP,
          ,
          可得,解得
              …………6分

          故當時,F(xiàn)G//平面PBD …………7分
          設(shè)平面PBC的一個法向量為
          ,而
          ,取z=1,得
          同理可得平面PBC的一個法向量
          設(shè)所成的角為0,


                  …………10分
          ∵PA⊥面ABCD,∴∠PCA就是PC與底面ABCD所成的角,
                
          ∴PC與底面ABCD所成角的正切值是…………12分
          考點:空間中的線面角以線線垂直的證明
          點評:主要是考查了空間中的線線以及線面的位置關(guān)系的運用,以及線面角的求解,屬于中檔題。

          練習冊系列答案
          相關(guān)習題

          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

          如圖,邊長為2的正方形中,

          (1)點的中點,點的中點,將分別沿折起,使兩點重合于點。求證:
          (2)當時,求三棱錐的體積。

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

          如圖,

          (I)求證
          (II)

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

          如圖,圓錐頂點為.底面圓心為,其母線與底面所成的角為.是底面圓上的兩條平行的弦,軸與平面所成的角為,

          (Ⅰ)證明:平面與平面的交線平行于底面;
          (Ⅱ)求.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

          如圖,在三棱錐中,,,設(shè)頂點在底面上的射影為

          (Ⅰ)求證:;
          (Ⅱ)設(shè)點在棱上,且,試求二面角的余弦值.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

          如圖平面SAC⊥平面ACB,ΔSAC是邊長為4的等邊三角形,ΔACB為直角三角形,∠ACB=90°,BC=,求二面角S-AB-C的余弦值。

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

          如圖,已知⊥平面,,是正三角形,,且的中點.

          (Ⅰ)求證:∥平面;
          (Ⅱ)求證:平面BCE⊥平面

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題


          幾何體EFG —ABCD的面ABCD,ADGE,DCFG均為矩形,AD=DC=l,AE=

          (I)求證:EF⊥平面GDB;
          (Ⅱ)線段DG上是否存在點M使直線BM與平面BEF所成的角為45°,若存在求等¥ 的值;若不存在,說明理由.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

          如圖是三棱柱的三視圖,正(主)視圖和俯視圖都是矩形,側(cè)(左)視圖為等邊三角形,的中點.
                    
          (1)求證:∥平面;
          (2)設(shè)垂直于,且,求點到平面的距離.

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