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        1. 設橢圓的左焦點為F,上頂點為A,直線AF的傾斜角為45°,
          (1)求橢圓的離心率;
          (2)設過點A且與AF垂直的直線與橢圓右準線的交點為B,過A、B、F三點的圓M恰好與直線3x-y+3=0相切,求橢圓的方程及圓M的方程.
          【答案】分析:(1)由直線AF的傾斜角為45°可知b=c,進而根據(jù)a=求得a和c的關系,進而可得答案.
          (2)依題意可得直線AB的方程為y=-x+c,右準線方程為x=2c,進而可求得B點坐標,依據(jù)AF⊥AB可知過A,B,F(xiàn)三點的圓的圓心坐標進而可得圓的半徑,根據(jù)過A,B,F(xiàn)三點的圓恰好與直線3x-y+3=0相切可知圓心到直線3x-y+3=0的距離等于半徑,建立等式可求得b,進而求得a和c.橢圓和圓的方程可得.
          解答:解:(1)∵直線AF的傾斜角為45°,
          ∴b=c,
          ∴a==c
          ∴e==
          所以橢圓的離心率為;
          (2)由(1)知,直線AB的方程為y=-x+c,右準線方程為x=2c,
          可得B(2c,-c),
          ∵AF⊥AB,
          ∴過A,B,F(xiàn)三點的圓的圓心坐標為,
          半徑
          ∵過A,B,F(xiàn)三點的圓恰好與直線3x-y+3=0相切,
          所以圓心到直線3x-y+3=0的距離等于半徑r,即,
          得c=1,
          ,所以橢圓的方程為
          圓M的方程為
          點評:本題主要考查了橢圓的應用.注意圓錐曲線之間相交和相切的關系,根據(jù)這些關系找到解決問題的途徑.
          練習冊系列答案
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          x2
          4
          +
          y2
          3
          =1外的任意一點,過點P的直線PA、PB分別與橢圓相切于A、B兩點.
          (1)若點P的坐標為(1,2),求直線AB的方程.
          (2)設橢圓的左焦點為F,請問:當點P運動時,∠PFA與∠PFB是否總是相等?若是,請給出證明.

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             (1)求過O、F并且與橢圓右準線l相切的圓的方程;

           
             (2)設過點F且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于M、N兩點,線段MN的中垂線與y軸交于點A,求點A縱坐標的取值范圍。

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          (1)若點P的坐標為,求直線的方程。

          (2)設橢圓的左焦點為F,請問:當點P運動時,是否總是相等?若是,請給出證明。

           

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