Question

已知數(shù)列為公差不為的等差數(shù)列，為前項(xiàng)和，和的等差中項(xiàng)為，且．令數(shù)列的前項(xiàng)和為．
（1）求及；
（2）是否存在正整數(shù)成等比數(shù)列？若存在，求出所有的的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1），；（2）存在，.

解析試題分析：（1）由條件設(shè)公差為，從而得到，即得到.再代入中，通過裂項(xiàng)相消法即可得；（2）先假設(shè)存在，分別寫出表達(dá)式，再由等比中項(xiàng)的性質(zhì)得到，再通過分析得，而，且都是正整數(shù)，則可得只能為2，代入得符合題意.所以存在可以使成等比數(shù)列.
試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/91/f/fdnip4.png" style="vertical-align:middle;" />為等差數(shù)列，設(shè)公差為，則由題意得

整理得
所以     3分
由
所以     5分
（Ⅱ）假設(shè)存在
由（Ⅰ）知，，所以
若成等比，則有
   8分
   （1）
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/04/9/1ksgl2.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，     10分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/c1/7/okvzl.png" style="vertical-align:middle;" />，當(dāng)時(shí)，帶入（1）式，得；
綜上，當(dāng)可以使成等比數(shù)列.     12分
考點(diǎn)：1.等差中項(xiàng)的性質(zhì)；2.等比中項(xiàng)的性質(zhì)；3.裂項(xiàng)相消法.