Question

【題目】已知無窮數(shù)列的前項中的最大項為，最小項為，設(shè)

（1）若，求數(shù)列的通項公式；

（2）若，求數(shù)列的前項和；

（3）若數(shù)列是等差數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列.

Answer 1

【答案】（1）（2），當(dāng)時，（3）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)數(shù)列為遞增數(shù)列得到答案.

（2）計算，時，數(shù)列單調(diào)遞減，故時，，利用分組求和與錯位相減法計算得到答案.

（3）設(shè)數(shù)列的公差為，則，討論，，三種情況，分別證明等差數(shù)列得到答案.

（1）是遞增數(shù)列，所以，所以.

（2）由得，

當(dāng)，即；當(dāng)，即

又，所以，

當(dāng)時，，

所以，

令，對應(yīng)的前項和為，

則，，

兩式相減化簡整理得到：，

當(dāng)時，.

綜上所述，，當(dāng)時，.

（3）設(shè)數(shù)列的公差為，則，

由題意，

①，對任意都成立，即，是遞增數(shù)列.

所以，所以，

所以是公差為的等差數(shù)列；

②當(dāng)時，對任意都成立，進(jìn)而，

所以是遞減數(shù)列.，所以

所以是公差為的等差數(shù)列；

③當(dāng)時，，

因為與中至少有一個為0，所以二者都為0，進(jìn)而為常數(shù)列，

綜上所述，數(shù)列等差數(shù)列.