Question

【題目】已知橢圓方程為，雙曲線的兩條漸近線分別為， ，過橢圓的右焦點(diǎn)作直線，使，又與交于點(diǎn)，設(shè)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)由上至下依次為， ．　

（1）若與所成的銳角為，且雙曲線的焦距為4，求橢圓的方程；

（2）求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）最大值．

【解析】試題分析：（1）首先由題意并結(jié)合雙曲線的性質(zhì)可得出， 所滿足的關(guān)系式，再與聯(lián)立求出兩者的值即可得出所求的橢圓的方程；（2）首先聯(lián)立直線與的方程求出它們的交點(diǎn)的坐標(biāo)，再令，利用引入的參數(shù)表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，由于點(diǎn)在橢圓上，代入橢圓的方程結(jié)合橢圓的性質(zhì)求出的取值范圍，即可得出所求的最大值．

試題解析： （1）雙曲線的漸近線為，兩漸近線夾角為60°，又，所以，

所以，所以．又，所以， ，所以橢圓的方程為，所以離心率．

（2）由已知， 與聯(lián)立，解方程組得．設(shè)，則，因?yàn)?/span>，設(shè)，則，所以，即，將將A點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，得，

等式兩邊同除以， ，所以，當(dāng)，即時(shí)， 有最大值，即的最大值為．