Question

【題目】如圖，四棱錐 底面 為菱形，平面 平面 , , , , 為 的中點(diǎn).

（1）證明： ；
（2）二面角 的余弦值.

Answer 1

【答案】
（1）解：取 的中點(diǎn) ，連接 為菱形， ，
分別為 的中點(diǎn)， .
為 的中點(diǎn)， ，
又 面 面 ，
面 面 面 ，
，
面

（2）解：連接 為菱形，
為等邊三角形， 為 的中點(diǎn)， ，
面 兩兩垂直.
以 分別為 軸、 軸、 軸建立如圖所示的空間直接坐標(biāo)系 ，則 為面 的法向量，
設(shè)面 的法向量 ，
則 即 ，取 ，則 ， ，
，
結(jié)合圖形可知二面角 的余弦值為
【解析】（1）根據(jù)題目中所給的條件的特點(diǎn)，取AD的中點(diǎn)O，連接OP，OE，BD，由已知可得BD⊥AC，又O、E分別為AD，AB的中點(diǎn)，可得OE∥BD，得到AC⊥OE．再由PA=PD，O為AD的中點(diǎn)，得到PO⊥AD，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得PO⊥AC，再由線面垂直的判定可得AC⊥面POE，從而得到AC⊥PE；
（2）用空間向量求平面間的夾角. 以O(shè)A、OB、OP分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直接坐標(biāo)系O-xyz，得到A，B，P的坐標(biāo)，可得平面PAD的一個(gè)法向量，再求得面PAB的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角D-PA-B的余弦值．訓(xùn)練了利用空間向量求解二面角的平面角．