【題目】已知函數(shù)f(x)=2x-.
(1)判斷函數(shù)的奇偶性,并證明;
(2)用單調(diào)性的定義證明函數(shù)f(x)=2x-在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
【答案】(1)函數(shù)f(x)=2x-是奇函數(shù).
證明如下:易知f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0},關(guān)于原點(diǎn)對稱.
因?yàn)?/span>f(-x)=2(-x)-=-2x+
=-
=-f(x),所以f(x)是奇函數(shù).
(2)證明:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,
則f(x2)-f(x1)=2x2--
=2(x2-x1)+5
=(x2-x1)
,
因?yàn)?<x1<x2,所以x2-x1>0,x1x2>0,
所以f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),
所以f(x)=2x-在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
【解析】
(1)由定義判斷與
的關(guān)系,即可判斷函數(shù)奇偶性;
(2)由定義證明單調(diào)性,假設(shè)定義域內(nèi)的兩自變量的值,作差求
的符號,進(jìn)而判斷單調(diào)性.
(1)函數(shù)f(x)=2x-是奇函數(shù).
證明如下:易知f(x)的定義域?yàn)?/span>{x|x≠0},關(guān)于原點(diǎn)對稱.
因?yàn)?/span>f(-x)=2(-x)-=-2x+
=-
=-f(x),所以f(x)是奇函數(shù).
(2)證明:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,
則f(x2)-f(x1)
=2x2--
=2(x2-x1)+5
=(x2-x1),
因?yàn)?/span>0<x1<x2,所以x2-x1>0,x1x2>0,
所以f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),
所以f(x)=2x-在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為比較甲、乙兩地某月14時(shí)的氣溫情況,隨機(jī)選取該月中的5天,將這5天中14時(shí)的氣溫?cái)?shù)據(jù)(單位:℃)制成如圖所示的莖葉圖,考慮以下結(jié)論:
①甲地該月14時(shí)的平均氣溫低于乙地該月14時(shí)的平均氣溫;
②甲地該月14時(shí)的平均氣溫高于乙地該月14時(shí)的平均氣溫;
③甲地該月14時(shí)的平均氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差小于乙地該月14時(shí)的平均氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差;
④甲地該月14時(shí)的平均氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差大于乙地該月14時(shí)的平均氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差,
其中根據(jù)莖葉圖能得到的統(tǒng)計(jì)結(jié)論的編號為( )
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,BC邊上的高所在直線的方程為x-2y+1=0,∠A的平分線所在的直線方程為y=0.若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,2),求點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線在第一象限內(nèi)的點(diǎn)
到焦點(diǎn)
的距離為
.
(1)若,過點(diǎn)
,
的直線
與拋物線相交于另一點(diǎn)
,求
的值;
(2)若直線與拋物線
相交于
兩點(diǎn),與圓
相交于
兩點(diǎn),
為坐標(biāo)原點(diǎn),
,試問:是否存在實(shí)數(shù)
,使得
的長為定值?若存在,求出
的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚技術(shù)具有養(yǎng)殖密度高、經(jīng)濟(jì)效益好的特點(diǎn).研究表明:“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚時(shí),某種魚在一定的條件下,每尾魚的平均生長速度(單位:千克/年)是養(yǎng)殖密度
(單位:尾/立方米)的函數(shù).當(dāng)
不超過
尾/立方米時(shí),
的值為
千克/年;當(dāng)
時(shí),
是
的一次函數(shù),且當(dāng)
時(shí),
.
()當(dāng)
時(shí),求
關(guān)于
的函數(shù)的表達(dá)式.
()當(dāng)養(yǎng)殖密度
為多大時(shí),每立方米的魚的年生長量(單位:千克/立方米)可以達(dá)到最大?并求出最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知奇函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)镽,其中g(x)為指數(shù)函數(shù),且過定點(diǎn)(2,9).
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若對任意的t∈[0,5],不等式f(t2+2t+k)+f(-2t2+2t-5)>0恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直三棱柱中,
,∠ACB=90°,M是
的中點(diǎn),N是
的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:MN∥平面;
(Ⅱ)求點(diǎn)到平面BMC的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】二戰(zhàn)中盟軍為了知道德國“虎式”重型坦克的數(shù)量,采用了兩種方法,一種是傳統(tǒng)的情報(bào)竊取,一種是用統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法進(jìn)行估計(jì),統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法最后被證實(shí)比傳統(tǒng)的情報(bào)收集更精確,德國人在生產(chǎn)坦克時(shí)把坦克從1開始進(jìn)行了連續(xù)編號,在戰(zhàn)爭期間盟軍把繳獲的“虎式”坦克的編號進(jìn)行記錄,并計(jì)算出這些編號的平均值為675.5,假設(shè)繳獲的坦克代表了所有坦克的一個(gè)隨機(jī)樣本,則利用你所學(xué)過的統(tǒng)計(jì)知識估計(jì)德國共制造“虎式”坦克大約有( )
A.1050輛
B.1350輛
C.1650輛
D.1950輛
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測評,根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例,使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生,記錄他們的分?jǐn)?shù),將數(shù)據(jù)分成7組: ,并整理得到如下頻率分布直方圖:
(Ⅰ)從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人,估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于70的概率;
(Ⅱ)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人,試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù);
(Ⅲ)已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70,且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等.試估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例.
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