Question

如圖，菱形的邊長(zhǎng)為4，，.將菱形沿對(duì)角線折起，得到三棱錐，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，.

（1）求證：平面；
（2）求證：平面平面；
（3）求三棱錐的體積.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）.

解析試題分析：（1）利用三角形的中位線平行于相應(yīng)的底邊證明，然后結(jié)合直線與平面平行的判定定理即可證明平面；（2）先利用翻折時(shí)與的相對(duì)位置不變證明，然后利用勾股定理證明，并結(jié)合直線與平面垂直的判定定理先證明平面，最終利用平面與平面垂直的判定定理證明平面平面；（3）利用（2）中的結(jié)論平面，利用等體積法將三棱錐的體積轉(zhuǎn)化為以點(diǎn)為頂點(diǎn)，所在平面為底面的三棱錐的體積來計(jì)算，則三棱錐的高為，的面積為底面積，然后利用錐體的體積公式即可計(jì)算三棱錐的體積，在計(jì)算的面積時(shí)，首先應(yīng)確定的形狀，然后選擇合適的公式計(jì)算計(jì)算的面積.
試題解析：（1）因?yàn)镺為AC的中點(diǎn)，M為BC的中點(diǎn)，所以.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/84/0/lkw96.png" style="vertical-align:middle;" />平面ABD，平面ABD，所以平面.
（2）因?yàn)樵诹庑蜛BCD中，，所以在三棱錐中，.
在菱形ABCD中，AB＝AD＝4，，所以BD＝4.因?yàn)镺為BD的中點(diǎn)，
所以.因?yàn)镺為AC的中點(diǎn)，M為BC的中點(diǎn)，所以.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/32/9/ycjic1.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，即.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/ab/d/1gsbw2.png" style="vertical-align:middle;" />平面ABC，平面ABC，，所以平面ABC.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/80/7/10i6m3.png" style="vertical-align:middle;" />平面DOM，所以平面平面.
（3）由（2）得，平面BOM，所以是三棱錐的高.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/7e/e/98eio1.png" style="vertical-align:middle;" />，，
所以.
考點(diǎn)：直線與平面平行、平面與平面平行、等體積法