Question

【題目】設(shè)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比它到軸的距離大，記點(diǎn)的軌跡為曲線.

（1）求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）若圓心在曲線上的動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)，試證明圓與軸必相交，且截軸所得的弦長(zhǎng)為定值.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)拋物線定義判斷點(diǎn)的軌跡，再根據(jù)拋物線幾何條件求標(biāo)準(zhǔn)方程，（2）結(jié)合題意設(shè)出圓心的坐標(biāo)，并根據(jù)圓過(guò)點(diǎn)A得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，在圓方程中令后可得關(guān)于x的二次方程，根據(jù)此方程判別式可判斷圓與x軸相交，同時(shí)并根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離求出弦長(zhǎng)．

試題解析：（1）依題意知，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn) 的距離等于到直線的距離，

∴曲線是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)， 為焦點(diǎn)的拋物線．

設(shè)曲線C的方程為,

則， ∴，∴曲線方程是 ．

（2）

設(shè)圓心為，則，

∵圓過(guò) ，∴圓的方程為，

令得．

∵∴圓與軸必相交，

設(shè)圓M與軸的兩交點(diǎn)分別為E ，G

則， ，　

∴ ，

∴=4．

故圓截軸所得的弦長(zhǎng)為定值．