Question

【題目】已知函數(shù).

（1）如圖，設(shè)直線將坐標(biāo)平面分成四個區(qū)域（不含邊界），若函數(shù)的圖象恰好位于其中一個區(qū)域內(nèi)，判斷其所在的區(qū)域并求對應(yīng)的的取值范圍；

（2）當(dāng)時，求證：且，有.

Answer 1

【答案】（1），；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)定義域確定只能在3，4區(qū)域，再根據(jù)確定只能在4，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，分離變量得．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)最值，即得的取值范圍；（2）作差函數(shù)，再利用二次求導(dǎo)確定為單調(diào)遞減函數(shù)，最后根據(jù)，得，即得結(jié)論.

試題解析：（1）函數(shù)的定義域為，且當(dāng)時，．

又直線恰好通過原點，

∴函數(shù)的圖象應(yīng)位于區(qū)域Ⅳ內(nèi)，

于是可得，

即．

∵，∴．

令，則．

∴時，，單調(diào)遞增；

時，，單調(diào)遞減．

∴

∴的取值范圍是．

（2）∵，

設(shè),

則，

，

∴，

∴時 為單調(diào)遞減函數(shù)，

不妨設(shè)，令（），

可得，

，∵且單調(diào)遞減函數(shù)，

∴，∴，為單調(diào)遞減函數(shù)，

∴，

即．