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        1. 在各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}中,前n項和Sn滿足2Sn+1=an(2an+1),n∈N*
          (1)證明{an}是等差數(shù)列,并求這個數(shù)列的通項公式及前n項和的公式;
          (2)在平面直角坐標系xoy面上,設點Mn(xn,yn)滿足an=nxn,Sn=n2yn,且點Mn在直線l上,Mn中最高點為Mk,若稱直線l與x軸.直線x=a,x=b所圍成的圖形的面積為直線l在區(qū)間[a,b]上的面積,試求直線l在區(qū)間[x3,xk]上的面積;
          (3)若存在圓心在直線l上的圓紙片能覆蓋住點列Mn中任何一個點,求該圓紙片最小面積.
          分析:本題是解析幾何、數(shù)列、極限多知識點融合一體的綜合性題,重點考查數(shù)列中an和Sn的關(guān)系、等差數(shù)列的證明、求數(shù)列的通項公式、前n項和、直線方程的應用、極限的思想等;
          (1)該小題較易,利用an=sn-sn-1就可以把已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于an的遞推關(guān)系,進而得到{an}為等差數(shù)列,其通項公式、前n項和易得;
          (2)根據(jù)題意可得點Mn
          1
          2
          +
          1
          2n
          1
          4
          +
          3
          4n
          ),令x=
          1
          2
          +
          1
          2n
          ,y=
          1
          4
          +
          3
          4n
          ,消去n得關(guān)于x、y的方程,再根據(jù)y=
          1
          4
          +
          3
          4n
          是n的減函數(shù)可得M1為Mn中的最高點,且M1(1,1),又滿足條件的圖形為直角梯形,從而求得其面積;
          (3)根據(jù)直線C:3x-2y-1=0上的點列Mn依次為M1(1,1),M2
          3
          4
          5
          8
          ),M3
          2
          3
          ,
          1
          2
          ),…,Mn
          1
          2
          +
          1
          2n
          1
          4
          +
          3
          4n
          ),可得其極限點M(
          1
          2
          1
          4
          ),從而|M1M|,最小圓紙片的面積即得.
          解答:解:(1)由已知得2Sn=2an2+an-1①
          故2Sn+1=2an+12+an+1-1②
          ②-①得2an+1=2an+12-2an2+an+1-an
          結(jié)合an>0,得an+1-an=
          1
          2

          ∴{an}是等差數(shù)列
          又n=1時,2a1=a12+a1-1,解得a1=1或a1=
          1
          2

          ∵an>0,∴a1=1
          又d=
          1
          2
          ,故an=1+
          1
          2
          (n-1)=
          1
          2
          n+
          1
          2

          ∴Sn=n+
          1
          2
          n(n-1)
          2
          =
          1
          4
          n2+
          3
          4
          n;
          (2)∵an=nxn,Sn=n2yn
          ∴xn=
          an
          n
          =
          1
          2
          +
          1
          2n
          ,yn=
          sn
          n2
          =
          1
          4
          +
          3
          4n

          即得點Mn
          1
          2
          +
          1
          2n
          1
          4
          +
          3
          4n

          設x=
          1
          2
          +
          1
          2n
          ,y=
          1
          4
          +
          3
          4n

          消去n,得3x-2y-1=0,
          即直線C的方程為3x-2y-1=0
          又y=
          1
          4
          +
          3
          4n
          是n的減函數(shù)
          ∴M1為Mn中的最高點,且M1(1,1)
          又M3的坐標為(
          2
          3
          ,
          1
          2

          ∴C與x軸.直線x=
          2
          3
          ,x=1圍成的圖形為直角梯形
          從而直線C在[
          2
          3
          ,1]上的面積為
          S=
          1
          2
          ×(
          1
          2
          +1)×(1-
          2
          3
          )=
          1
          4
          ;(9分)
          (3)由于直線C:3x-2y-1=0上的點列Mn依次為
          M1(1,1),M2
          3
          4
          ,
          5
          8
          ),M3
          2
          3
          1
          2
          ),
          Mn
          1
          2
          +
          1
          2n
          ,
          1
          4
          +
          3
          4n
          ),
          lim
          n→∞
          1
          2
          +
          1
          2n
          )=
          1
          2
          ,
          lim
          n→∞
          1
          4
          +
          3
          4n
          )=
          1
          4

          因此,點列Mn沿直線C無限接近于極限點M(
          1
          2
          ,
          1
          4

          1
          2
          |M1M|=
          1
          2
          (1-
          1
          2
          )2+(1-
          1
          4
          )2  
          =
          13
          8

          所以最小圓紙片的面積為
          13π
          64
          點評:本題題型大,覆蓋面廣,應用知識豐富,是一個難度大的題目;要正確的解好本題,不僅具備全面的知識方法,還需要一定的耐力,有時解題的意志力也是決定題目是否解出的重要因素,本題的解答就是一個很好的例證;所以解題過程中,不僅積累知識和方法,還是培養(yǎng)人的耐心的方式,是對人的心理因素的考驗.
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          在各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}中,已知點(an,an+1)(n∈N*)在函數(shù)y=2x的圖象上,且a25=8
          (1)求證:數(shù)列{an}是等比數(shù)列,并求出其通項公式;
          (2)若數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,且bn=an+n,求Sn

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          (Ⅰ)證明{an}是等差數(shù)列,并求這個數(shù)列的通項公式及前n項和的公式;
          (Ⅱ)在XOY平面上,設點列Mn(xn,yn)滿足an=nxn,Sn=n2yn,且點列Mn在直線C上,Mn中最高點為Mk,若稱直線C與x軸、直線x=a、x=b所圍成的圖形的面積為直線C在區(qū)間[a,b]上的面積,試求直線C在區(qū)間[x3,xk]上的面積;
          (Ⅲ)是否存在圓心在直線C上的圓,使得點列Mn中任何一個點都在該圓內(nèi)部?若存在,求出符合題目條件的半徑最小的圓;若不存在,請說明理由.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          (2006•朝陽區(qū)一模)在各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}中,前n項和Sn滿足2Sn+1=an(2an+1),n∈N*
          (Ⅰ)證明{an}是等差數(shù)列,并求這個數(shù)列的通項公式及前n項和的公式;
          (Ⅱ)在XOY平面上,設點列Mn(xn,yn)滿足an=nxn,Sn=n2yn,且點列Mn在直線C上,Mn中最高點為Mk,若稱直線C與x軸、直線x=a,x=b所圍成的圖形的面積為直線C在區(qū)間[a,b]上的面積,試求直線C在區(qū)間[x3,xk]上的面積.

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