Question

若函數(shù)f（x）滿足：對于任意x₁，x₂＞0，都有f（x₁）＞0，f（x₂）＞0且f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）成立，則稱函數(shù)f（x）具有性質(zhì)M．給出下列四個函數(shù)：①y=x³，②y=log₂（x+1），③y=2^x-1，④y=sinx．其中具有性質(zhì)M的函數(shù)是

 

（注：把滿足題意所有函數(shù)的序號都填上）

Answer 1

分析：根據(jù)題意依次分析命題：①②③通過做差比較f（x₁）+f（x₂）-f（x₁+x₂）大于還是小于零，得出結(jié)論；④當x＞0時，根據(jù)函數(shù)y=sinx的值域是[-1，1]，得出結(jié)論即可．

解答：解：①函數(shù)y=x³，當x＞0時，y＞0
f（x₁）+f（x₂）-f（x₁+x₂）=x₁³+x₂³-（x₁+x₂）³=-3x₁²x₂-3x₂²x_1^＜0
∴f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂） 故①具有性質(zhì)M的函數(shù)；
②當x₁，x₂＞0時，y=log₂（x+1）＞0
f（x₁）+f（x₂）-f（x₁+x₂）=log2

(x1+1)(x2+1)

x1+x2+1

∵x₁，x₂＞0
∴f（x₁）+f（x₂）-f（x₁+x₂）=log2

(x1+1)(x2+1)

x1+x2+1

＞0
即f（x₁）+f（x₂）＞f（x₁+x₂）
故②不具有性質(zhì)M的函數(shù)；
③當x＞0時，y=2^x-1的值域（0，+∞）
f（x₁）+f（x₂）-f（x₁+x₂）=2^x₁-1+2^x₂-1-2^x₁+x₂₊1＞0 故③具有性質(zhì)M的函數(shù)；
④當x＞0時，函數(shù)y=sinx的值域是[-1，1]，故不具有M的性質(zhì)．
可通過作差比較得到結(jié)論．
故答案為①③．

點評：本題考查了對數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及值域，對于比較兩數(shù)大小一般采取做差比較的方法．屬于基礎(chǔ)題．