Question

設(shè)函數(shù)f(x)＝x²－mlnx，g(x)＝x²－x＋a.
(1)當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)≥g(x)在(1，＋∞),上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(2)當(dāng)m＝2時(shí)，若函數(shù)h(x)=f(x)－g(x)在[1,3]上恰有兩個不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

(1)(2)

試題分析：(1) 可將問題轉(zhuǎn)化為 時(shí)， 恒成立問題。令，先求導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)大于0得原函數(shù)的增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于0得原函數(shù)的減區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性可求最小值。只需 即可。(2)可將問題轉(zhuǎn)化為方程,在上恰有兩個相異實(shí)根，令。同(1)一樣用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性然后再求其極值和端點(diǎn)處函數(shù)值。比較極值和端點(diǎn)處函數(shù)值得大小，畫函數(shù)草圖由數(shù)形結(jié)合分析可知直線應(yīng)與函數(shù)的圖像有2個交點(diǎn)。從而可列出關(guān)于的方程。
試題解析：
解：(1)由，可得             1分
，即，記，
則在上恒成立等價(jià)于.       3分
求得
當(dāng)時(shí), ;
當(dāng)時(shí), .
故在處取得極小值，也是最小值，即，故.
所以，實(shí)數(shù)的取值范圍為                  5分
(2)函數(shù)在上恰有兩個不同的零點(diǎn)
等價(jià)于方程,在上恰有兩個相異實(shí)根．       6分
令，則.
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
∴在上是單調(diào)遞減函數(shù)，在上是單調(diào)遞增            8分
函數(shù)．故，
又，，
∵，∴只需，
故a的取值范圍是．                    10分