Question

（湖北理21）（本小題滿分14分）
已知m，n為正整數(shù).
（Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)x>-1時(shí)，(1+x)^m≥1+mx；
（Ⅱ）對(duì)于n≥6，已知，求證，m=1,1,2…，n；
（Ⅲ）求出滿足等式3ⁿ+4^m+…+(n+2)^m=(n+3)ⁿ的所有正整數(shù)n.

Answer 1

見(jiàn)解析

（Ⅲ）假設(shè)存在正整數(shù)成立，
即有（）+＝1.　�、�
又由（Ⅱ）可得
（）+
+與②式矛盾，
故當(dāng)n≥6時(shí)，不存在滿足該等式的正整數(shù)n.
故只需要討論n=1,2,3,4,5的情形；
當(dāng)n=1時(shí)，3≠4，等式不成立；
當(dāng)n=2時(shí)，3²+4²＝5²，等式成立；
當(dāng)n=3時(shí)，3³+4³+5³＝6³，等式成立；
當(dāng)n=4時(shí)，3⁴+4⁴+5⁴+6⁴為偶數(shù)，而7⁴為奇數(shù)，故3⁴+4⁴+5⁴+6⁴≠7⁴,等式不成立；
當(dāng)n=5時(shí)，同n=4的情形可分析出，等式不成立.
綜上，所求的n只有n=2,3.