Question

【題目】設(shè)雙曲線(xiàn)C的焦點(diǎn)在軸上，離心率為，其一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是（0,1）.

（Ⅰ）求雙曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）若直線(xiàn)與該雙曲線(xiàn)交于A、B兩點(diǎn)，且A、B的中點(diǎn)為（2,3），求直線(xiàn)的方程

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析：（Ⅰ）由頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，3），求得a，由已知條件雙曲線(xiàn)的離心率為，列出方程求出c，利用雙曲線(xiàn)的三參數(shù)的關(guān)系，求出b，據(jù)雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)的位置寫(xiě)出雙曲線(xiàn)的方程．
（Ⅱ）設(shè)出A，B的坐標(biāo)，代入雙曲線(xiàn)方程，兩式相減，根據(jù)中點(diǎn)的坐標(biāo)可知x1+x2和y1+y2的值，進(jìn)而求得直線(xiàn)AB的斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式求得直線(xiàn)的方程．

試題解析：

（1）由已知得

又∴

∴ 雙曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2） 設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，

則 由①-②得：

∴.

∴直線(xiàn)的方程為 經(jīng)檢驗(yàn)滿(mǎn)足。