Question

已知點(diǎn)在拋物線上，直線（，且）與拋物線，相交于、兩點(diǎn)，直線、分別交直線于點(diǎn)、.
（1）求的值；
（2）若，求直線的方程；
（3）試判斷以線段為直徑的圓是否恒過兩個(gè)定點(diǎn)？若是，求這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，說明理由.

Answer 1

（1）；（2）或；（3）存在，且兩個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)為和.

試題分析：（1）將點(diǎn)代入拋物線的方程即可求出的值；（2）解法1是先設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立求出、的坐標(biāo)，并求出、的直線方程，與直線的方程聯(lián)立求出、的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式列等式求出的值，從而求出直線的方程；解法2是設(shè)直線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，分別將直線的方程與拋物線和直線的方程求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，然后設(shè)直線的方程為，利用同樣的方法求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，利用點(diǎn)、都在直線上，結(jié)合兩點(diǎn)連線的斜率等于值以及點(diǎn)在直線得到、與之間的等量關(guān)系，然后再利用兩點(diǎn)間的距離公式列等式求出的值，從而求出直線的方程；（3）解法1是求出線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)，然后寫出以為直徑的圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理進(jìn)行化簡(jiǎn)，根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；解法2是設(shè)為以為直徑的圓上的一點(diǎn)，由得到以為直徑的圓的方程，然后圓的方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)求出定點(diǎn)的坐標(biāo).
試題解析：（1）點(diǎn)在拋物線上，.
第（2）、（3）問提供以下兩種解法：
解法1：（2）由（1）得拋物線的方程為.
設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，依題意，，，
由消去得，
解得.
，，
直線的斜率，
故直線的方程為.
令，得，點(diǎn)的坐標(biāo)為.
同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為.
.
，.
由，得，
解得,或，
直線的方程為，或.
（3）設(shè)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
則
.
而，
以線段為直徑的圓的方程為.
展開得.
令，得，解得或.
以線段為直徑的圓恒過兩個(gè)定點(diǎn)、.
解法2：（2）由（1）得拋物線的方程為.
設(shè)直線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
由解得
點(diǎn)的坐標(biāo)為.
由，消去，得，
即，解得或.
，.
點(diǎn)的坐標(biāo)為.
同理，設(shè)直線的方程為，
則點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為.
點(diǎn)、在直線上，
.
.                5分
又，得，
化簡(jiǎn)得.
，
，.
.
由，
得，
解得.
直線的方程為，或.
（3）設(shè)點(diǎn)是以線段為直徑的圓上任意一點(diǎn)，
則，
得，
整理得，.
令，得，解得或.
以線段為直徑的圓恒過兩個(gè)定點(diǎn)、.