Question

如圖，四棱錐中，平面，底面為矩形，為的中點(diǎn).

（1）求證：；
（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

（1）證明詳見解析；（2）當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，滿足平面，此時(shí).

試題分析：（1）要證線線垂直，通常只需證線面垂直，本題中要證，只需證明平面，而要證平面，又只需證垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線即可，這兩個(gè)垂直關(guān)系，由題中的為矩形及平面不難得到，命題得證；（2）先假設(shè)在線段上能找到一點(diǎn)，使得平面，此時(shí)平面平面，平面，由線面平行的性質(zhì)可知，由是的中點(diǎn)，在中可知，也是的中點(diǎn)，此時(shí)再根據(jù)題中的條件，即可求出的值，最后采用綜合法進(jìn)行證明即可，問題得以解決.
試題解析：（1）證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824041813911387.png" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，所以
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824041813942526.png" style="vertical-align:middle;" />是矩形，所以
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824041814815594.png" style="vertical-align:middle;" />，所以平面        4分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824041814862424.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以       6分
（2）取中點(diǎn)，連結(jié)
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824041814566320.png" style="vertical-align:middle;" />為的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824041815065505.png" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，所以平面    10分
此時(shí)
即在邊上存在一點(diǎn)，使得平面，的長(zhǎng)為    12分.