Question

（1）A（-2，0）、B（2，0），M滿足

MA

•

MB

=0，求M軌跡．
（2）若（1）中的軌跡按向量（1，-1）平移后恰與x+ky-3=0相切，求k．
（3）如圖，l過

x2

a2

+

y2

b2

=1 （a＞b＞0）長軸頂點A且與長軸垂直的直線，E、F是兩焦點，P∈l，P、A不重合，若∠EPF=α，則有0＜α≤arctan

c

b

，類比此結論到

x2

a2

-

y2

b2

=1 （a＞0，b＞0），l是過焦點F且垂直x軸的直線，A、B是兩頂點，P∈l，P、F不重合，∠APB=α，求α取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設點M為（x，y）代入題目中的條件

MA

•

MB

=0可得x²+y²=4即得到點M的軌跡方程．
（2）由題意得得到新的圓的方程（x-1）²+（y+1）²=4，由其與直線x+ky-3=0 相切可得k=0或 k=

4

3

．
（3）類比橢圓的證明方法得到雙曲線的類似的性質(zhì) 0＜α≤arctan

a

b

．

解答：解：（1）設 M(x，y)，由

MA

•

MB

=0得x2+y2=4，
所以點M的軌跡方程為x²+y²=4．
（2）將x²+y²=4向右平移一個單位，再向下平移一個單位后，得到圓（x-1）²+（y+1）²=4，
因為圓平移后恰與x+ky-3=0相切，
所以 

|k+2|

k2+1

=2，
得k=0或 k=

4

3

．
（3）由題意可得：不妨設P（c，t）（t＞0），
則 tan∠APF=

a+c

t

，tan∠BPF=

c-a

t

所以 tanα=tan(∠APF-∠BPF)=

a+c t - a-c t

1+ b2 t2

=

2a

t+ b2 t

≤

a

b

所以0＜tanα≤

a

b

．顯然α為銳角，即：0＜α≤arctan

a

b

所以α取值范圍為：(0，arctan

a

b

]．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練的把向量條件坐標化以及類比推理的有關知識，熟練掌握直線與圓的位置關系以及橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)，考查運算能力和綜合解題能力．