Question

已知二次函數(shù)與交于兩點且，奇函數(shù)，當時，與都在取到最小值．

（1）求的解析式；

（2）若與圖象恰有兩個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）由已知是奇函數(shù)，故，從而得，所以，又當時，在取到最小值，由均值不等式等號成立的條件可得，即．再由已知及弦長公式，得，解方程組便得的值，從而得函數(shù)和的解析式；（2）由已知，與，即有兩個不等的實根，將問題轉(zhuǎn)化為方程有兩個不等的實根，即一元二次方程根的分布問題，列不等式組解決問題．

試題解析：（1）因為是奇函數(shù)，由得，所以，由于時，有最小值，所以，則，當且僅當：取到最小值，所以，即．

設，，則．由得：，所以：，解得：，所以         6分

（2）因為與，即有兩個不等的實根，也即方程有兩個不等的實根．

當時，有，解得；當時，有，無解．

綜上所述，．                                 13分

考點：1．函數(shù)的最值；2．函數(shù)的奇偶性；3．弦長公式；4．一元二次方程根的分布問題．