Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，AA₁=2，E為棱CC₁的中點，AC與BD交于點O．
（1）求證：AD₁∥平面DOC₁；
（2）求證：B₁D₁⊥AE；
（3）求三棱錐A-BDE的體積．

Answer 1

分析：（1）連接CD₁，C₁D，交于點Q，連接OQ，AD₁，利用三角形的中位線，證明OQ∥AD₁，即可證明AD₁∥平面DOC₁；
（2）先證明BD⊥面ACE，再證明BD⊥AE，即可證得B₁D₁⊥AE；
（3）利用等體積轉(zhuǎn)化，即可求得三棱錐A-BDE的體積．

解答：（1）證明：連接CD₁，C₁D，交于點Q，連接OQ，AD₁，

則∵O、Q分別是AC、CD₁的中點，∴OQ∥AD₁，
∵AD₁?平面DOC₁，OQ?平面DOC₁，
∴AD₁∥平面DOC₁；
（2）證明：∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD
∵CE⊥面ABCD，∴CE⊥BD
∵AC∩CE=C，∴BD⊥面ACE
∵AE?面ACE，∴BD⊥AE
∵BD∥B₁D₁，∴B₁D₁⊥AE；
（3）解：∵S△ABD=

1

2

AB•AD=2，
∴VA-BDE=VE-ABD=

1

3

S△ABD•CE=

1

3

S△ABD•CE=

2

3

．

點評：本題考查線面平行，考查線面垂直，考查三棱錐的體積，掌握線面平行、線面垂直的判定，屬于中檔題．