【題目】某高校在2015年的自主招生考試成績(jī)中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的筆試成績(jī)，按成績(jī)分組，得到的頻率分布表如表所示．
組號(hào) | 分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
第1組 |
| 5 |
|
第2組 |
| a |
|
第3組 |
| 30 | b |
第4組 |
| 20 |
|
第5組 |
| 10 |
|
合計(jì) | 100 |
| |
Ⅰ
求出頻率分布表中a，b的值，再在答題紙上完成頻率分布直方圖；
Ⅱ根據(jù)樣本頻率分布直方圖估計(jì)樣本成績(jī)的中位數(shù)；
Ⅲ高校決定在筆試成績(jī)較高的第3，4，5組中用分層抽樣抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試，再?gòu)?名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生由A考官進(jìn)行面試，求第4組至少有一名學(xué)生被考官A面試的概率．
【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）
（Ⅲ）
【解析】
Ⅰ
由頻率分布表，能求出a，b，由此能作出頻率分布直方圖；Ⅱ求出
的頻率，
的頻率為
，由此能求出樣本成績(jī)的中位數(shù)；Ⅲ第3、4、5組共有60名學(xué)生，所以利用分層抽樣在60名學(xué)生中抽取6名學(xué)生，第3、4、5組分別抽取3人、2人、1人
設(shè)第3組的3位同學(xué)為
，
，
，第4組的2位同學(xué)為
，
，第5組的1位同學(xué)為
，由此列舉法能求出第4組至少有一名學(xué)生被考官A面試的概率．
Ⅰ由頻率分布表，得：
，
．
頻率分布直方圖為：
Ⅱ
的頻率為
，有頻率為，
樣本成績(jī)的中位數(shù)為：
．
Ⅲ
第3、4、5組共有60名學(xué)生，
利用分層抽樣在60名學(xué)生中抽取6名學(xué)生，每組分別為：
第3組：
人，第4組：
人，第5組：
人，
第3、4、5組分別抽取3人、2人、1人．
設(shè)第3組的3位同學(xué)為，，，第4組的2位同學(xué)為，，第5組的1位同學(xué)為，
則從六位同學(xué)中抽兩位同學(xué)有15種可能如下：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
第4組至少有一位同學(xué)入選的有9種可能，
第4組至少有一名學(xué)生被考官A面試的概率為
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】輪船在海上航行時(shí)，需要借助無線電導(dǎo)航確認(rèn)自己所在的位置，以把握航向．現(xiàn)有
、
、
三個(gè)無線電發(fā)射臺(tái)，其中在陸地上，在海上，在某國(guó)海岸線上，（該國(guó)這段海岸線可以近似地看作直線的一部分），如下圖．已知、兩點(diǎn)距離10千米，是
的中點(diǎn)，海岸線與直線的夾角為
．為保證安全，輪船的航路始終要滿足：接收到點(diǎn)的信號(hào)比接收到點(diǎn)的信號(hào)晚
秒．（注：無線電信號(hào)每秒傳播
千米）．在某時(shí)刻，測(cè)得輪船距離點(diǎn)距離為4千米．
（1）以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線為
軸建立平面直角坐標(biāo)系（如圖），求出該時(shí)刻輪船的位置；
（2）根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，船只在距離海岸線1.5千米以內(nèi)的海域航行時(shí)，有擱淺的風(fēng)險(xiǎn)．如果輪船保持目前的航路不變，那么是否有擱淺風(fēng)險(xiǎn)?
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知袋子中放有大小和形狀相同的小球若干，其中標(biāo)號(hào)為0的小球1個(gè)，標(biāo)號(hào)為1的小球1個(gè)，標(biāo)號(hào)為2的小球
個(gè).若從袋子中隨機(jī)抽取1個(gè)小球，取到標(biāo)號(hào)為2的小球的概率是
.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）從袋子中不放回地隨機(jī)抽取2個(gè)小球，記第一次取出的小球標(biāo)號(hào)為
，第二次取出的小球標(biāo)號(hào)為
.求在區(qū)間
內(nèi)任取2個(gè)實(shí)數(shù)
，
，求事件“
恒成立”的概率.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某物流公司引進(jìn)了一套無人智能配貨系統(tǒng)，購(gòu)買系統(tǒng)的費(fèi)用為80萬元，維持系統(tǒng)正常運(yùn)行的費(fèi)用包括保養(yǎng)費(fèi)和維修費(fèi)兩部分，每年的保養(yǎng)費(fèi)用為1萬元.該系統(tǒng)的維修費(fèi)為：第一年
萬元，第二年
萬元，第三年2萬元，…，依等差數(shù)列逐年遞增.
（1）求該系統(tǒng)使用n年的總費(fèi)用
（包括購(gòu)買設(shè)備的費(fèi)用）；
（2）求該系統(tǒng)使用多少年報(bào)廢，使年平均費(fèi)用最少.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)f(x)＝ln x－
.
(1)試討論f(x)在定義域上的單調(diào)性；
(2)若f(x)在[1，e]上的最小值為
，求a的值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
的左、右焦點(diǎn)分別為
，
，點(diǎn)
在橢圓上，滿足
.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線
過點(diǎn)
，且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線
與的傾斜角互補(bǔ)，且與橢圓交于異于點(diǎn)的兩點(diǎn)
，
，與直線
交于點(diǎn)
（介于，兩點(diǎn)之間）.
（i）求證：
；
（ii）是否存在直線，使得直線、、
、
的斜率按某種順序能構(gòu)成等比數(shù)列？若能，求出的方程；若不能，請(qǐng)說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某學(xué)校在學(xué)校內(nèi)招募了
名男志愿者和
名女志愿者.將這
名志愿者的身高編成如右莖葉圖(單位: 
),若身高在
以上(包括
)定義為“高個(gè)子”,身高在
以下(不包括
)定義為“非高個(gè)子”,且只有“女高個(gè)子”才能擔(dān)任“禮儀小姐”.
（Ⅰ）如果用分層抽樣的方法從“高個(gè)子”和“非高個(gè)子”中抽取
人,再?gòu)倪@
人中選
人,那么至少有一人是“高個(gè)子”的概率是多少?
（Ⅱ）若從所有“高個(gè)子”中選
名志愿者,用
表示所選志愿者中能擔(dān)任“禮儀小姐”的人數(shù),試寫出
的分布列,并求
的數(shù)學(xué)期望.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】(2016·全國(guó)Ⅲ卷)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.
(1)證明{an}是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；
(2)若S5＝
，求λ.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)數(shù)列
的前n項(xiàng)和為
，對(duì)任意的正整數(shù)n，都有
成立，記
（
），
（１）求數(shù)列
的通項(xiàng)公式；
（2）記
（），設(shè)數(shù)列
的前n和為
，求證：對(duì)任意正整數(shù)n，都有
．
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