Question

試判斷函數(shù)的單調(diào)性并給出證明。

Answer 1

在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減。

【錯(cuò)解分析】在解答題中證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性必須依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解答。特別注意定義中的的任意性。以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必是函數(shù)定義域的子集，一旦忽略定義域優(yōu)先的原則，就很容易出錯(cuò)。
【正解】因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824001527229634.png" style="vertical-align:middle;" />即函數(shù)為奇函數(shù)，
所以只需判斷函數(shù)在上的單調(diào)性即可。
設(shè) ， 
由于 
故當(dāng) 時(shí)，此時(shí)函數(shù)在上增函數(shù)，
同理可證函數(shù)在上為減函數(shù)。
又由于函數(shù)為奇函數(shù)，故函數(shù)在為減函數(shù)，在為增函數(shù)。
綜上所述：函數(shù)在和上分別為增函數(shù)，在和上分別為減函數(shù).
【點(diǎn)評(píng)】證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性要從定義出發(fā)，應(yīng)注意步驟的規(guī)范性及樹立定義域優(yōu)先的原則。是一種重要的函數(shù)模型，要引起重視并注意應(yīng)用。但注意本題中不能說在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù),在敘述函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)不能在多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間添加符號(hào)“∪”和“或”，