Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l與拋物線y²＝4x相交于不同的A、B兩點(diǎn)．
（1）如果直線l過拋物線的焦點(diǎn)，求·的值；
（2）如果·＝－4，證明直線l必過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)．

Answer 1

（1）；（2）過定點(diǎn)。

解析試題分析：拋物線的焦點(diǎn)在軸上，直線過焦點(diǎn)且與拋物線相交，這條直線可能與垂直，但不可能與垂直，因此這種直線方程可設(shè)為的形式，可避免討論斜率存在不存在的問題。直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，我們一般設(shè)，則，而這里的，可以讓直線方程和拋物線方程聯(lián)立方程組得出。（1）中直線方程可設(shè)為，（2）中直線方程可設(shè)為，（2）與（1）的區(qū)別在于最后令，求出。
試題解析：（1）由題意：拋物線焦點(diǎn)為，
設(shè)，代入拋物線方程中得，
，
設(shè)，則，
∴
。
（2）設(shè)，代入拋物線方程中得，
，
設(shè)，則，
∴
，
令，∴，，
∴直線過定點(diǎn)，∴若，則直線必過一定點(diǎn)。
考點(diǎn)：直線與拋物線相交問題，與向量的數(shù)量積。