Question

在直角坐標(biāo)系中，已知中心在原點(diǎn)，離心率為的橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn)為圓的圓心.
⑴求橢圓E的方程；
⑵設(shè)P是橢圓E上一點(diǎn)，過(guò)P作兩條斜率之積為的直線(xiàn)，當(dāng)直線(xiàn)都與圓相切時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo).

Answer 1

（1）；（2）．

解析試題分析：（1）圓心坐標(biāo)是已知的，故橢圓的焦點(diǎn)是已知的，從而半焦距已知了，又有離心率，故半長(zhǎng)軸長(zhǎng)也能求出，從而求出，而根據(jù)題意，橢圓方程是標(biāo)準(zhǔn)方程，可其方程易得；（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，再設(shè)一條切線(xiàn)的斜率為，則另一條切線(xiàn)的斜率為，三個(gè)未知數(shù)需要三個(gè)方程，點(diǎn)P在橢圓上，一個(gè)等式，兩條直線(xiàn)都圓的切線(xiàn)，利用圓心到切線(xiàn)的距離等于圓的半徑又得到兩個(gè)等式，三個(gè)等量關(guān)系，三個(gè)未知數(shù)理論上可解了，當(dāng)然具體解題時(shí)，可設(shè)切線(xiàn)斜率為，則點(diǎn)斜率式寫(xiě)出直線(xiàn)方程，利用圓心到切線(xiàn)距離等于圓半徑得出關(guān)于的方程，而是這個(gè)方程的兩解，由韋達(dá)定理得，這個(gè)結(jié)果又是，就列出了關(guān)于P點(diǎn)坐標(biāo)的一個(gè)方程，再由P點(diǎn)在橢圓上，可解出P點(diǎn)坐標(biāo)．
試題解析：（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，所以，又，，，而據(jù)題意橢圓的方程是標(biāo)準(zhǔn)方程，故其方程為．        4分
（2）設(shè)，得
∵，依題意到的距離為
整理得同理

∴是方程的兩實(shí)根    10分
       12分
∴       14分
     16分
考點(diǎn)：（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）圓的切線(xiàn)．