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        1. 設(shè)向量=(x+1,y),=(y,x-1),(x,y∈R)滿足||+||=2,已知定點A(1,0),動點P(x,y)
          (1)求動點P(x,y)的軌跡C的方程;
          (2)過原點O作直線l交軌跡C于兩點M,N,若,試求△MAN的面積.
          (3)過原點O作直線l與直線x=2交于D點,過點A作OD的垂線與以O(shè)D為直徑的圓交于點G,H(不妨設(shè)點G在直線OD上方),試判斷線段OG的長度是否為定值?并說明理由.
          【答案】分析:(1)由||+||=2,知,由此能求出動點P(x,y)的軌跡C的方程.
          (2)點A(1,0)和B(-1,0)為C的兩個焦點,連接BM,BN,由橢圓的對稱性可知四邊形AMBN是平行四邊形,所以∠AMB=π-∠MAN=,設(shè)MA=r1,MB=r2,由橢圓定義知r12+r22+2r1r2=8.在△AMB中,由余弦定理知,所以,由此得=
          (3)設(shè)動點D(2,y),則以O(shè)D為直徑的圓的方程為x(x-2)+y(y-y)=0,直線GA:2x+yy-2=0,由此得G的軌跡方程是x2+y2=2,從而得到OG=(定值).
          解答:解:(1)∵=(x+1,y),=(y,x-1),(x,y∈R)滿足||+||=2
          ,
          ∴動點P(x,y)的軌跡C的方程是以(±1,0)為焦點,以長軸長為2,短軸長為2的橢圓,
          ∴動點P(x,y)的軌跡C的方程為
          (2)∵點A(1,0)和B(-1,0)為C的兩個焦點,連接BM,BN,
          由橢圓的對稱性可知四邊形AMBN是平行四邊形,
          ∴∠AMB=π-∠MAN=,
          設(shè)MA=r1,MB=r2,
          由橢圓定義知,即r12+r22+2r1r2=8,
          在△AMB中,由余弦定理知,
          兩式作差,得,
          =
          (3)設(shè)動點D(2,y),
          則以O(shè)D為直徑的圓的方程為x(x-2)+y(y-y)=0,①
          直線GA:2x+yy-2=0,②
          由①②聯(lián)立消去y得G的軌跡方程是x2+y2=2,
          ∴OG=(定值)
          點評:本題考查圓與圓錐曲線的綜合應(yīng)用,解題時要認(rèn)真審題,注意挖掘題設(shè)中的隱含條件,合理地運用圓錐曲線的性質(zhì)進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)向量i、j為直角坐標(biāo)系的x軸、y軸正方向上的單位向量,若向量
          a
          =(x+1)i+yj,
          b
          =(x-1)i+yj,且|
          a
          |-|
          b
          |=1,則滿足上述條件的點P(x,y)的軌跡方程是( 。
          A、
          x2
          1
          4
          -
          y2
          3
          4
          =1(y≥0)
          B、
          x2
          1
          4
          -
          y2
          3
          4
          =1(x≥0)
          C、
          y2
          1
          4
          -
          x2
          3
          4
          =1(y≥0)
          D、
          y2
          1
          4
          -
          x2
          3
          4
          =1(x≥0)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)向量
          a
          =(x+1,y),
          b
          =(x-1,y)
          ,點P(x,y)為動點,已知|
          a
          |+|
          b
          |=4

          (1)求點p的軌跡方程;
          (2)設(shè)點p的軌跡與x軸負(fù)半軸交于點A,過點F(1,0)的直線交點P的軌跡于B、C兩點,試推斷△ABC的面積是否存在最大值?若存在,求其最大值;若不存在,請說明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)向量
          s
          =(x+1,y),
          t
          =(y,x-1),(x,y∈R)滿足|
          s
          |+|
          t
          |=2
          2
          ,已知定點A(1,0),動點P(x,y)
          (1)求動點P(x,y)的軌跡C的方程;
          (2)過原點O作直線l交軌跡C于兩點M,N,若,試求△MAN的面積.
          (3)過原點O作直線l與直線x=2交于D點,過點A作OD的垂線與以O(shè)D為直徑的圓交于點G,H(不妨設(shè)點G在直線OD上方),試判斷線段OG的長度是否為定值?并說明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2010•上海模擬)設(shè)向量
          s
          =(x+1,y),
          t
          =(y,x-1)(x,y∈R)
          ,滿足|
          s
          |+|
          t
           |=2
          2
          ,已知兩定點A(1,0),B(-1,0),動點P(x,y),
          (1)求動點P(x,y)的軌跡C的方程;
          (2)已知直線m:y=x+t交軌跡C于兩點M,N,(A,B在直線MN兩側(cè)),求四邊形MANB的面積的最大值.
          (3)過原點O作直線l與直線x=2交于D點,過點A作OD的垂線與以O(shè)D為直徑的圓交于點G,H(不妨設(shè)點G在直線OD上方),求證:線段OG的長為定值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

          設(shè)向量
          s
          =(x+1,y),
          t
          =(y,x-1),(x,y∈R)滿足|
          s
          |+|
          t
          |=2
          2
          ,已知定點A(1,0),動點P(x,y)
          (1)求動點P(x,y)的軌跡C的方程;
          (2)過原點O作直線l交軌跡C于兩點M,N,若,試求△MAN的面積.
          (3)過原點O作直線l與直線x=2交于D點,過點A作OD的垂線與以O(shè)D為直徑的圓交于點G,H(不妨設(shè)點G在直線OD上方),試判斷線段OG的長度是否為定值?并說明理由.

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          同步練習(xí)冊答案