Question

(本小題14分) 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，設(shè)點(diǎn)F(0, p)(p>0), 直線(xiàn)l : y= －p, 點(diǎn)P在直線(xiàn)l上移動(dòng)，R是線(xiàn)段PF與x軸的交點(diǎn), 過(guò)R、P分別作直線(xiàn)、，使， .
(1)求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡C的方程；
(2)在直線(xiàn)l上任取一點(diǎn)M做曲線(xiàn)C的兩條切線(xiàn)，設(shè)切點(diǎn)為A、B，求證：直線(xiàn)AB恒過(guò)一定點(diǎn)；
(3)對(duì)(2)求證：當(dāng)直線(xiàn)MA, MF, MB的斜率存在時(shí)，直線(xiàn)MA, MF, MB的斜率的倒數(shù)成等差數(shù)列.

Answer 1

(1)．（2）直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn). (3) 證明：見(jiàn)解析。

解析試題分析：（Ⅰ）先判斷RQ是線(xiàn)段FP的垂直平分線(xiàn)，從而可得動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡C是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)；
（Ⅱ）設(shè)M（m，-p），兩切點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求出切線(xiàn)方程，從而可得x₁，x₂為方程x²-2mx-4p²=0的兩根，進(jìn)一步可得直線(xiàn)AB的方程，即可得到直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)（0，p）；
（Ⅲ） 由（Ⅱ）的結(jié)論，設(shè)M（m，-p），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且有x₁+x₂=2m，x₁x₂=-4p²，從而可得k_MA，k_MB由此可證直線(xiàn)MA，MF，MB的斜率的倒數(shù)成等差數(shù)列．
解：(1)依題意知，點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，且⊥，
∴是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)． ∴．
故動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，
其方程為：．
（2）設(shè)，兩切點(diǎn)為， 
∴兩條切線(xiàn)方程為xx=2p(y+y)    ① 
xx=2p(y+y)    ② 
對(duì)于方程①，代入點(diǎn), 又, 整理得：, 同理對(duì)方程②有, 即為方程的兩根.
∴  ③
設(shè)直線(xiàn)的斜率為，
所以直線(xiàn)的方程為，展開(kāi)得：，代入③得：,  ∴直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).
(3) 證明：由（2）的結(jié)論，設(shè)， ， 
且有，
∴ 
∴
=
又∵，所以
即直線(xiàn)的斜率倒數(shù)成等差數(shù)列.
考點(diǎn)：本題主要考查了拋物線(xiàn)的定義，考查直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，考查直線(xiàn)的向量。屬于中檔題
點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用韋達(dá)定理，以及拋物線(xiàn)中x,y關(guān)系式的轉(zhuǎn)化與化簡(jiǎn)是解決試題的又一個(gè)難點(diǎn)。