Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求在處切線方程；

（2）討論的單調(diào)區(qū)間；

（3）試判斷時(shí)的實(shí)根個數(shù)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間是，減區(qū)間是；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間是，減區(qū)間是；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間是；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間是，減區(qū)間是;

（3）只有一個零點(diǎn).

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，把代入，，代入導(dǎo)函數(shù)中，求出切線的斜率，求出切線方程；

（2），根據(jù)的正負(fù)性以及之間的大小關(guān)系，進(jìn)行分類，確定的不同區(qū)間，求出不同區(qū)間下，函數(shù)的單調(diào)性；

（3）由（2）可知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間是，減區(qū)間是，求出函數(shù)的極大值、極小值，再判斷出當(dāng)時(shí)，，由此可以判斷出函數(shù)的零點(diǎn)的情況.

（1），

當(dāng)時(shí)，，，所以在處切線方程為

，化簡得：,

即.

（2）,函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

①當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；

②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增， 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；

③當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；

④當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增， 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；

綜上所述：

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間是，減區(qū)間是；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間是，減區(qū)間是；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間是；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間是，減區(qū)間是.

（3）由（2）可知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間是，減區(qū)間是，

所以是極大值點(diǎn)，是極小值點(diǎn)，，，時(shí)，，所以時(shí)，的實(shí)根個數(shù)為1個.