Question

在平面直角坐標系xOy中，橢圓=1（a＞b＞0）的焦點為 F₁（-1，0），F₂（1，0），左、右頂點分別為A，B，離心率為，動點P到F₁，F₂的距離的平方和為6．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）若，，Q為橢圓上位于x軸上方的動點，直線DM•CN，BQ分別交直線m于點M，N．
（i）當直線AQ的斜率為時，求△AMN的面積；
（ii）求證：對任意的動點Q，DM•CN為定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用動點P到F₁，F₂的距離的平方和為6，建立方程，化簡可得P的軌跡方程；
（2）確定橢圓的方程，求出M、N的坐標，（ i）當直線AQ的斜率為時，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，表示出三角形的面積，即可求△AMN的面積；（ii）表示出DM，CN，計算DM•CN，可得定值．
解答：（1）解：設P（x，y），則，
即（x+1）²+y²+（x-1）²+y²=6，整理得，x²+y²=2，
所以動點P的軌跡方程為x²+y²=2．…（4分）
（2）解：由題意知，，解得，
所以橢圓方程為．  …（6分）
則，，設Q（x，y），y＞0，則，
直線AQ的方程為，令，得，
直線BQ的方程為，令，得，
（ i）當直線AQ的斜率為時，有，消去x并整理得，，解得或y=0（舍），…（10分）
所以△AMN的面積==．   …（12分）
（ii），，
所以．
所以對任意的動點Q，DM•CN為定值，該定值為．    …（16分）
點評：本題考查軌跡方程，考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查三角形面積的計算，考查學生的計算能力，綜合性強．