Question

已知函數(shù)
（1）計(jì)算的值，據(jù)此提出一個(gè)猜想，并予以證明；
（2）證明：除點(diǎn)（2,2）外，函數(shù)的圖像均在直線的下方.

Answer 1

（1），，猜想詳見解析；（2）證明過程詳見解析.

解析試題分析：本題考查求函數(shù)值和函數(shù)最值、函數(shù)的對(duì)稱性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力、分析問題解決問題的能力和計(jì)算能力.第一問，直接代入求函數(shù)值，通過2組數(shù)的規(guī)律得到猜想，利用對(duì)稱關(guān)系證明結(jié)論；第二問，先求出函數(shù)的定義域，利用單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，求最值，將原結(jié)論轉(zhuǎn)化為求最值問題.
試題解析： （1）∵
∴；
猜想：的圖象關(guān)于對(duì)稱，下面證明猜想的正確性；
∵
∴的圖象關(guān)于對(duì)稱
（2）∵的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/bb/2/10b164.png" style="vertical-align:middle;" />，由（1）知的圖象關(guān)于對(duì)稱
設(shè) 
∴


∵  ∴    
又
∴   
∴為上的增函數(shù)，由對(duì)稱性知在上為減函數(shù)，
∴
∴的圖象除點(diǎn)外均在直線的下方.
考點(diǎn)：1.證明函數(shù)的對(duì)稱性；2.函數(shù)單調(diào)性的定義.