Question

如圖，四棱錐中，是正三角形，四邊形是矩形，且平面平面，，．

(Ⅰ)若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證：平面；
（II）試問(wèn)點(diǎn)在線段上什么位置時(shí)，二面角的余弦值為.

Answer 1

（Ⅰ）見(jiàn)解析；
（II）當(dāng)點(diǎn)在線段的中點(diǎn)時(shí)，二面角的余弦值為.

解析試題分析：（Ⅰ）通過(guò)連接，應(yīng)用三角形的中位線定理得到證明得到 面．
（II）利用空間直角坐標(biāo)系，確定平面的一個(gè)法向量，而平面的法向量，得到，確定出點(diǎn)在線段的中點(diǎn)時(shí)，二面角的余弦值為.解答此類問(wèn)題，要注意發(fā)現(xiàn)垂直關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)刂苯亲鴺?biāo)系，以簡(jiǎn)化解題過(guò)程.
試題解析：（Ⅰ）證明：連接，設(shè)，連接，
由三角形的中位線定理可得：，
∵平面，平面，∴平面．
（II）建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

在中，斜邊,得，所以，.
設(shè)，得.
設(shè)平面的一個(gè)法向量，由得，
取，得.
而平面的法向量，所以由題意，即，
解得（舍去）或，所以，當(dāng)點(diǎn)在線段的中點(diǎn)時(shí)，二面角的余弦值為.
考點(diǎn)：1、平行關(guān)系；2、空間向量的應(yīng)用；3、二面角的計(jì)算.