Question

已知三棱錐S-ABC的底面是正三角形，A點在側面SBC上的射影H是△SBC的垂心．
（1）求證：BC⊥SA
（2）若S在底面ABC內(nèi)的射影為O，證明：O為底面△ABC的中心；
（3）若二面角H-AB-C的平面角等于30°，SA=，求三棱錐S-ABC的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由AH⊥面SBC，BC在面SBC內(nèi)，知H是△SBC的垂心，故SH⊥BC，由此能夠證明BC⊥SA．
（2）由SO⊥面ABC，知SO⊥BC，由BC⊥SA，知，故AO⊥BC，同理AB⊥OC，由此能夠證明故O為底面△ABC的中心．
（3）由（1）有SA=SB=SC=，設CO交AB于F，則CF⊥AB，CF是EF在面ABC內(nèi)的射影，得到∠EFC為二面角H-AB-C的平面角，由此能求出三棱錐S-ABC的體積．
解答：證明：（1）∵AH⊥面SBC，BC在面SBC內(nèi)，
∴AH⊥BC，
∵H是△SBC的垂心，∴SH⊥BC，
又∵SH∩AH=H，∴BC⊥面SAH，
∴BC⊥SA．…（4分）

又∵BC⊥SA，SA∩SO=S，
∴，
∴AO⊥BC，同理AB⊥OC，…（8分）
因此O為底面△ABC的垂心，
而三棱錐S-ABC的底面是正三角形，
故O為底面△ABC的中心．
（3）由（1）有SA=SB=SC=，
設CO交AB于F，則CF⊥AB，CF是EF在面ABC內(nèi)的射影，
∴EF⊥AB，∴∠EFC為二面角H-AB-C的平面角，
∠EFC=30°，∠ECF=60°，
OC=，SO=3，AB=3，
，
∴．…（14分）
點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查三角形中心的證明，考查三棱錐體積的求法，解題時要認真審題，仔細解答，合理地化空間問題為平面問題．