Question

已知函數(shù)f(x)=-x²+8x,g(x)=6lnx+m.

(1)求f(x)在區(qū)間［t,t+1］上的最大值h(t).

(2)是否存在實(shí)數(shù)m,使得y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

思路分析:本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等基本知識(shí),考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法,考查運(yùn)算能力,考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類與整合等數(shù)學(xué)思想方法和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

解:(1)f(x)=-x²+8x=-(x-4)²+16.

當(dāng)t+1＜4,即t＜3時(shí),f(x)在［t,t+1］上單調(diào)遞增,

h(t)=f(t+1)=-(t+1)²+8(t+1)=-t²+6t+7;

當(dāng)t≤4≤t+1,即3≤t≤4時(shí),h(t)=f(4)=16;

當(dāng)t＞4時(shí),f(x)在［t,t+1］上單調(diào)遞減,

h(t)=f(t)=-t²+8t.

綜上,h(t)=

(2)函數(shù)y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn),即函數(shù)φ(x)=g(x)-f(x)

的圖象與x軸的正半軸有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn).

∵φ(x)=x²-8x+6lnx+m,

∴φ′(x)=2x-8+(x＞0).

當(dāng)x∈(0,1)時(shí),φ′(x)＞0,φ(x)是增函數(shù);

當(dāng)x∈(0,3)時(shí),φ′(x)＜0,φ(x)是減函數(shù);

當(dāng)x∈(3,+∞)時(shí),φ′(x)＞0,φ(x)是增函數(shù);

當(dāng)x=1或x=3時(shí),φ′(x)=0.

∴φ(x)_最大值=φ(1)=m-7,φ(x)_最小值=φ(3)=m+6ln3-15.

∴當(dāng)x充分接近0時(shí),φ(x)＜0,當(dāng)x充分大時(shí),φ(x)＞0.

∴要使φ(x)的圖象與x軸正半軸有三個(gè)不同的交點(diǎn),必須且只需

即7＜m＜15-6ln3.

∴存在實(shí)數(shù)m,使得函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn),m的取值范圍為(7,15-6ln3).