Question

【題目】設(shè)函數(shù)， .

（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；

（2）如果不等式對于一切的恒成立，求的取值范圍；

（3）證明：不等式對于一切的恒成立.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ；(3)證明見解析.

【解析】試題分析：

（1）當(dāng)時， ，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的切線方程可得在點處的切線方程為；

（2）原問題等價于恒成立.構(gòu)造函數(shù)， ，則，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得，故的取值范圍是；

（3）原問題等價于.構(gòu)造函數(shù)，則.結(jié)合(2)的結(jié)論可知.故，從而有對于一切的恒成立.

試題解析：

（1）當(dāng)時， ，則，故，切線方程為： ；

（2）因為，所以恒成立，等價于恒成立.

設(shè)， ，得，

當(dāng)時，，所以　在上單調(diào)遞減，

所以　時，.

因為恒成立，所以；

（3）當(dāng)時， ，等價于.

設(shè)，.求導(dǎo)，得.

由（2）可知，時， 恒成立.

所以時， ，有，所以.

所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，.

因此當(dāng)時， .