Question

【題目】已知數(shù)列滿足，.

（Ⅰ）證明：是等比數(shù)列；

（Ⅱ）證明：數(shù)列中的任意三項(xiàng)不為等差數(shù)列；

（Ⅲ）證明：.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析.

(2）證明見解析.

(3) 證明見解析.

【解析】分析：（Ⅰ）由，得，即，又由，所以是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列.

（Ⅱ）由（1）得數(shù)列的通項(xiàng)公式為，不妨設(shè)數(shù)列中存在三項(xiàng)，，為等差數(shù)列，化簡(jiǎn)得，進(jìn)而得到，由于，所以上式左邊是偶數(shù)，右邊是奇數(shù)，得出矛盾.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，則，，又由當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得到，即可利用等比數(shù)列的求和公式，即可作出證明.

詳解：（Ⅰ）由，得，即，

故.

又，所以是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列.

（Ⅱ）下面用反證法證明數(shù)列中的任意三項(xiàng)不為等差數(shù)列，

因?yàn)?/span>，因此數(shù)列的通項(xiàng)公式為.

不妨設(shè)數(shù)列中存在三項(xiàng)，，為等差數(shù)列，

又， ，

故，

所以數(shù)列中存在三項(xiàng)為等差數(shù)列，只能為成立.

即 ，

化簡(jiǎn)為，

兩邊同乘，得.

又由于，所以上式左邊是偶數(shù)，右邊是奇數(shù)，故上式不成立，導(dǎo)致矛盾.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知.

，，

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以.

于是

.

所以.