Question

【題目】已知二次函數(shù)的最小值是1，且.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）若，試求的最小值；

（3）若在區(qū)間上，的圖像恒在的圖像上方，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1） ；（2） ； （3）

【解析】

（1）設(shè)出二次函數(shù)的解析式，根據(jù)對(duì)稱軸為，，可以得到一個(gè)三元一次方程組，最后求出二次函數(shù)的解析式；

（2）根據(jù)對(duì)稱軸和給定區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論，然后根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)在時(shí)的最小值；

（3）根據(jù)題意，原問(wèn)題等價(jià)于在上恒成立，構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性，可以求出實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為：，因?yàn)?/span>，所以的對(duì)稱軸為，所以有，

因此函數(shù)的解析式為；

（2）若，則在上單調(diào)遞增，；

若，即，則在上單調(diào)遞減；

；

若，即，則

綜上 .

（3）由題意知，當(dāng)時(shí)，，

即恒成立.

設(shè)，

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，

因此有，得,即實(shí)數(shù)的取值范圍是.