Question

已知f(n)=(2n+7)·3ⁿ+9,存在自然數(shù)m,使得對任意n∈N,都能使m整除f(n)，求m的最大值。

Answer 1

m值等于36

∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36
∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.
證明：n=1,2時，由上得證，設(shè)n=k(k≥2)時，
f(k)=(2k+7)·3^k+9能被36整除，則n=k+1時，
f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3^k+1?－(2k+7)·3^k
=(6k+27)·3^k－(2k+7)·3^k
=(4k+20)·3^k=36(k+5)·3^k－2?(k≥2)
f(k+1)能被36整除
∵f(1)不能被大于36的數(shù)整除，∴所求最大的m值等于36