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        1. 如圖,AB是圓的直徑,PA垂直圓所在的平面,C是圓上的點.

          (1)求證:平面PAC平面PBC;

          (2)AB2,AC1,PA1,求二面角CPBA的余弦值.

           

          1)見解析(2

          【解析】(1)AB是圓的直徑,得ACBC

          PA平面ABC,BC?平面ABC,得PABC.

          PAACA,PA?平面PAC,AC?平面PAC,

          所以BC平面PAC.

          因為BC?平面PBC

          所以平面PBC平面PAC.

          (2)CCMAP,則CM平面ABC.

          如圖,以點C為坐標原點,分別以直線CB、CA、CMx軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系.

          RtABC中,因為AB2,AC1,所以BC.

          因為PA1,所以A(0,1,0)B(0,0),P(0,1,1).故(,0,0)(0,1,1)

          設平面BCP的法向量為n1(x1,y1z1),則所以

          不妨令y11,則n1(0,1,-1).因為(0,0,1),(,-1,0)

          設平面ABP的法向量為n2(x2,y2,z2),則所以

          不妨令x21,則n2(1,,0).于是cosn1,n2〉=.

          由題圖可判斷二面角為銳角,所以二面角CPBA的余弦值為.

           

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