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        1. 如圖,AB是圓的直徑,PA垂直圓所在的平面,C是圓上的點(diǎn).

          (1)求證:平面PAC平面PBC;

          (2)AB2AC1,PA1,求二面角CPBA的余弦值.

           

          1)見(jiàn)解析(2

          【解析】(1)AB是圓的直徑,得ACBC,

          PA平面ABC,BC?平面ABC,得PABC.

          PAACA,PA?平面PAC,AC?平面PAC,

          所以BC平面PAC.

          因?yàn)?/span>BC?平面PBC

          所以平面PBC平面PAC.

          (2)過(guò)CCMAP,則CM平面ABC.

          如圖,以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以直線CBCA、CMx軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

          RtABC中,因?yàn)?/span>AB2,AC1,所以BC.

          因?yàn)?/span>PA1,所以A(0,1,0),B(0,0),P(0,1,1).故(,0,0),(0,1,1)

          設(shè)平面BCP的法向量為n1(x1,y1,z1),則所以

          不妨令y11,則n1(0,1,-1).因?yàn)?/span>(0,0,1),(,-1,0),

          設(shè)平面ABP的法向量為n2(x2,y2,z2),則所以

          不妨令x21,則n2(1,,0).于是cosn1,n2〉=.

          由題圖可判斷二面角為銳角,所以二面角CPBA的余弦值為.

           

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