Question

【題目】已知直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為8.

（1）求圓的方程；

（2）若直線與圓切于點(diǎn)，當(dāng)直線與軸正半軸，軸正半軸圍成的三角形面積最小時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】(1)；(2)．

【解析】

試題分析：(1)利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到弦所在直線的距離，再利用弦長(zhǎng)公式求出圓的半徑即可求解；(2)設(shè)出直線和圓的切點(diǎn)，求出切點(diǎn)坐標(biāo)和切線方程，求出切線方程和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用直角三角形的面積公式得到表達(dá)式，再利用基本不等式求其最值．

試題解析：（1）因?yàn)閳A的圓心到直線的距離為，………………1分

所以.………………2分

所以圓的方程.………………3分

（2）設(shè)直線與圓切于點(diǎn)，

則.………………4分

因?yàn)?/span>，所以圓的切線的斜率為.………………5分

則切線方程為，即.………………6分

則直線與軸正半軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，與軸正半軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為.

所以圍成的三角形面積為.………………9分

因?yàn)?/span>，所以.

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.………………10分

因?yàn)?/span>，,所以，

所以.

所以當(dāng)時(shí)，取得最小值18.………………11分

所以所求切點(diǎn)的坐標(biāo)為.………………12分