Question

在正三角形ABC中，E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點(diǎn)，滿足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如圖1）．將△AEF、△CFP分別沿EF、PF折起到△A₁EF和△C₁FP的位置，使二面角A₁-EF-B和C₁-PF-B均成直二面角，連結(jié)A₁B、A₁P、EC₁（如圖2）
（1）求證：A₁E⊥平面BEP；
（2）設(shè)正△ABC的邊長為3，以

EB

，

EF

，

EA

為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系．
①求點(diǎn)C₁的坐標(biāo)；
②直線EC₁與平面C₁PF所成角的大��；
③求二面角B-A₁P-F的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由已知易得∠A₁EB為二面角A_1-EF-B的平面角．且此二面角為直二面角，進(jìn)而由面面垂直的性質(zhì)定理得到A₁E⊥平面BEP；
（2）由題意知，A₁（0，0，1），B（2，0，0），F(xiàn)（0，

3

，0），
①過P、C₁分別作BE、PF的垂線，垂足為G、H．可得G為EB中點(diǎn)，H為EG中點(diǎn)，進(jìn)而得到P，C₁的坐標(biāo)
②求出向量

EF

，

FC1

，進(jìn)而根據(jù)

EF

•

FC1

=0，結(jié)合向量垂直的充要條件得到EF⊥FC₁，再由EF⊥PF，可得

EF

是平面C₁PF的一個(gè)法向量，
代入向量夾角公式，可得直線EC₁與平面C₁PF所成角
③求出平面A₁BP的一個(gè)法向量和平面A₁PF的一個(gè)法向量，代入向量夾角公式，可得答案．

解答：證明：（1）在圖1中，AE：EB=CF：FA=1：2
∴AF=2AE而∠A=60°，
∴EF⊥AE
在圖2中，A₁E⊥EF，BE⊥EF，
∴∠A₁EB為二面角A_1-EF-B的平面角．
由題設(shè)條件知此二面角為直二面角，
∴A₁E⊥BE，
又BE∩EF=E
∴A₁E⊥平面BEF，
即 A₁E⊥平面BEP
解：（2）由題意知，A₁（0，0，1），B（2，0，0），F(xiàn)（0，

3

，0），
過P、C₁分別作BE、PF的垂線，垂足為G、H．
①可得G為EB中點(diǎn)，H為EG中點(diǎn)，
∴G（1，0，0），H（

1

2

，0，0）
而P，C₁的縱坐標(biāo)與F相同，C₁的豎坐標(biāo)為縱坐標(biāo)的一半
從而可得P（1，

3

，0）．
C₁（

1

2

，

3

，

3

2

）
②

EF

=（0，

3

，0），

FC1

=（

1

2

，0，

3

2

）
∴

EF

•

FC1

=0，即EF⊥FC₁
而EF⊥PF，所以

EF

是平面C₁PF的一個(gè)法向量，
又cos＜

EF

，

EC1

＞=

3

3 •2

=

3

2

∴＜

EF

，

EC1

＞=

π

6

故直線EC₁與平面C₁PF所成角為

π

3

．
③

A1B

=（2，0，-1），

BP

=（-1，

3

，0），設(shè)平面A₁BP的一個(gè)法向量為

m

=（x₁，y₁，z₁）
于是有

2x1-z1=0 -x1+ 3 y1=0

，取x₁=1，得

m

=（1，

3

3

，2）．
同理可求得平面A₁PF的一個(gè)法向量

n

=（0，1，

3

）
cos＜

m

，

n

＞=

7 3 3

4 3 3 •2

=

7

8

，所求二面角與這個(gè)夾角互補(bǔ)，
所以二面角B-A₁P-F的余弦值為-

7

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是有空間向量求平面間的夾角，建立空間坐標(biāo)系將空間線線垂直及二面角轉(zhuǎn)化為向量垂直及向量夾角問題是解答的關(guān)鍵．