Question

對于實數(shù)x，符號[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如[π]=3，[-1.08]=-2，定義函數(shù)f（x）=x-[x]，則下列命題中正確的是

②③

（填題號）
①函數(shù)f（x）的最大值為1；              
②函數(shù)f（x）的最小值為0；
③函數(shù)G(x)=f(x)-

1

2

有無數(shù)個零點；    
④函數(shù)f（x）是增函數(shù)．

Answer 1

分析：本題考查的是取整函數(shù)問題．在解答時要先充分理解[x]的含義，從而可知針對于選項注意對新函數(shù)的最值、單調(diào)性以及周期性加以分析即可，注意反例的應(yīng)用．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=x-[x]，
∴函數(shù)f（x）的最大值小于1，故①不正確；
函數(shù)f（x）的最小值為0，故②正確；
函數(shù)每隔一個單位重復(fù)一次，所以函數(shù)G(x)=f(x)-

1

2

有無數(shù)個零點，故③正確；
函數(shù)f（x）有增有減，故④不正確．
故答案為：②③．

點評：本題考查的是分段函數(shù)知識和函數(shù)值域等性質(zhì)的綜合類問題．在解答的過程當中充分體現(xiàn)了分類討論的思想、特值的思想以及問題轉(zhuǎn)化的思想．值得同學們體會反思．