Question

（2008•南匯區(qū)一模）定義矩陣方冪運(yùn)算：設(shè)A是一個(gè)n×n的矩陣，定義

A1=A Ak+1=Ak•A(k∈N*)

．若A=

1 1 0 1

，
求（1）A²，A³；
（2）猜測(cè)Aⁿ（n∈N^*），并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析：（1）二階矩陣的知法法則：

a b c d

 •

x y z w

 =

ax+bz ay+bw cx+dz cy+dw

，按照這個(gè)法則，就不難算出A²，A³的值了；
（2）根據(jù)計(jì)算出的n=1、2、3的Aⁿ的形式，先假設(shè)An=

1 n 0 1

(n∈N*)，再根據(jù)數(shù)學(xué)歸納的法則進(jìn)行證明：①n=1時(shí)，等式顯然成立；②假設(shè)n=k時(shí)等式成立，通過(guò)矩陣乘法法則，可推導(dǎo)出當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立．由此可得原等式對(duì)任意正整數(shù)都成立．

解答：解：（1）A2=

1 1 0 1

)2=

1 2 0 1

…（2分），
A3=

1 3 0 1

…（4分）
（2）證明：猜測(cè)An=

1 n 0 1

(n∈N*)…（6分）
1°n=2時(shí)，由（1）知顯然成立
2°假設(shè)n=k時(shí)，Ak=

1 k 0 1

(k∈N*)成立
則當(dāng)n=k+1時(shí)，有定義得Ak+1=Ak•A=

1 k 0 1

1 1 0 1

=

1 k+1 0 1

∴Ak+1=

1 k+1 0 1

也成立．
由1°、2°可知，對(duì)任意n∈N^*，An=

1 n 0 1

均成立．  …（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題以二階行列式為載體，考查了數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟，屬于中檔題．牢記二階矩陣的乘法法則，并能準(zhǔn)確運(yùn)用，是解決本題的關(guān)鍵．