Question

【題目】已知函數(shù) .

（1）若在 處導(dǎo)數(shù)相等，證明： ；

（2）若對于任意 ，直線 與曲線都有唯一公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（I）見解析（II）

【解析】

（1）由題x＞0，，由f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）處導(dǎo)數(shù)相等，得到，得，

由韋達(dá)定理得，由基本不等式得，得，由題意得，令,則，令，，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明．

（2）由得，令，

利用反證法可證明證明恒成立。

由對任意，只有一個解，得為上的遞增函數(shù)，得，令，由此可求的取值范圍..

（I）

令，得，

由韋達(dá)定理得

即，得

令,則，令，

則，得

（II）由得

令，

則，，

下面先證明恒成立。

若存在，使得，，，且當(dāng)自變量充分大時，，所以存在，，使得，，取，則與至少有兩個交點(diǎn)，矛盾。

由對任意，只有一個解，得為上的遞增函數(shù)，

得，令，則，

得