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        1. 已知向量a(
          3
          cosωx,sinωx)
          ,b(sinωx,0),且ω>0,設(shè)函數(shù)f(x)=(a+b)•b+k.
          (1)若f(x)的圖象中相鄰兩條對稱軸間的距離不小于
          π
          2
          ,求ω的取值范圍.
          (2)若f(x)的最小正周期為π,且當x∈[-
          π
          6
          ,
          π
          6
          ]
          時,f(x)的最大值是2,求就k的值.
          分析:
          a
          b
          的坐標求出
          a
          +
          b
          的坐標,進而利用平面向量的數(shù)量積運算法則算出(
          a
          +
          b
          )•
          b
          的值,把f(x)的解析式變形,再利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡,從而利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù),
          (1)找出ω的值,代入周期公式求出f(x)的周期,根據(jù)f(x)的圖象中相鄰兩條對稱軸間的距離不小于
          π
          2
          ,得到周期的一半大于等于
          π
          2
          ,再由ω>0即可求出ω的取值范圍;
          (2)由f(x)的最小正周期為π求出ω的值,代入f(x)的解析式,根據(jù)x的范圍求出2x-
          π
          6
          范圍,根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到f(x)取得最大值時x的值,把求出x的值及f(x)的最大值為2代入f(x)解析式,即可求出k的值.
          解答:解:∵
          a
          (
          3
          cosωx,sinωx)
          ,
          b
          (sinωx,0),
          a
          +
          b
          =(
          3
          cosωx+sinωx,sinωx),
          ∴f(x)=
          3
          sinωxcosωx+sin2ωx+k
          =
          3
          2
          sin2ωx-
          1
          2
          cos2ωx+
          1
          2
          +k
          =sin(2ωx-
          π
          6
          )+
          1
          2
          +k,
          (1)由題意得:T=
          =
          π
          ω

          T
          2
          =
          π
          π
          2
          ,∴ω≤1,又ω>0,
          則ω的取值范圍0<ω≤1;
          (2)∵T=π,∴
          π
          ω
          =π,即ω=1,
          ∴f(x)=sin(2x-
          π
          6
          )+
          1
          2
          +k,
          x∈[-
          π
          6
          π
          6
          ]
          ,∴2x-
          π
          6
          ∈[-
          π
          2
          ,
          π
          6
          ],
          則當2x-
          π
          6
          =
          π
          6
          ,即x=
          π
          6
          時,f(x)取得最大值,
          ∴f(
          π
          6
          )=2,及sin(2×
          π
          6
          -
          π
          6
          )+
          1
          2
          +k=2,
          解得:k=1.
          點評:此題考查了三角函數(shù)的恒等變形,平面向量的數(shù)量積運算,三角函數(shù)的周期性及其求法,以及正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),其中利用三角函數(shù)的恒等變換及平面向量的數(shù)量積運算法則把f(x)的解析式化為一個角的正弦函數(shù)是解本題的關(guān)鍵.
          練習冊系列答案
          相關(guān)習題

          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知向量
          a
          =(3cosα,3sinα)
          ,
          b
          =(4cosβ,4sinβ)
          ,且|
          a
          +2
          b
          |=7
          ,
          (Ⅰ)求向量
          a
          、
          b
          的夾角θ;
          (Ⅱ)求(2
          a
          -4
          b
          )•(3
          a
          +
          b
          )
          的值.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知向量
          a
          =(sinωx,-cosωx),
          b
          =(
          3
          cosωx,cosωx)(ω>0),函數(shù)f(x)=
          a
          b
          +
          1
          2
          ,且函數(shù)f(x)=
          3
          sinωxcosωx-cos2ωx+
          1
          2
          的圖象中任意兩相鄰對稱軸間的距離為π.
          (1)求ω的值;
          (2)已知在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,f(C)=
          1
          2
          ,且c=2
          19
          ,△ABC的面積S=2
          3
          ,求a+b的值.

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          科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

          已知向量
          a
          =(3cosα,3sinα)
          ,
          b
          =(4cosβ,4sinβ)
          ,且|
          a
          +2
          b
          |=7
          ,
          (Ⅰ)求向量
          a
          、
          b
          的夾角θ;
          (Ⅱ)求(2
          a
          -4
          b
          )•(3
          a
          +
          b
          )
          的值.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知向量a=(3cosα,sinα),α∈(0,π2),e=(1,0),向量ae的夾角為β,求tan(α-β)的最大值,并求相應(yīng)的α的值.

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          同步練習冊答案