Question

已知向量a(

3

cosωx，sinωx)，b（sinωx，0），且ω＞0，設(shè)函數(shù)f（x）=（a+b）•b+k．
（1）若f（x）的圖象中相鄰兩條對稱軸間的距離不小于

π

2

，求ω的取值范圍．
（2）若f（x）的最小正周期為π，且當x∈[-

π

6

，

π

6

]時，f（x）的最大值是2，求就k的值．

Answer 1

分析：由

a

和

b

的坐標求出

a

+

b

的坐標，進而利用平面向量的數(shù)量積運算法則算出（

a

+

b

）•

b

的值，把f（x）的解析式變形，再利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，從而利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，
（1）找出ω的值，代入周期公式求出f（x）的周期，根據(jù)f（x）的圖象中相鄰兩條對稱軸間的距離不小于

π

2

，得到周期的一半大于等于

π

2

，再由ω＞0即可求出ω的取值范圍；
（2）由f（x）的最小正周期為π求出ω的值，代入f（x）的解析式，根據(jù)x的范圍求出2x-

π

6

范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到f（x）取得最大值時x的值，把求出x的值及f（x）的最大值為2代入f（x）解析式，即可求出k的值．

解答：解：∵

a

(

3

cosωx，sinωx)，

b

（sinωx，0），
∴

a

+

b

=（

3

cosωx+sinωx，sinωx），
∴f（x）=

3

sinωxcosωx+sin²ωx+k
=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx+

1

2

+k
=sin（2ωx-

π

6

）+

1

2

+k，
（1）由題意得：T=

2π

2ω

=

π

ω

，
∴

T

2

=

π

2ω

≥

π

2

，∴ω≤1，又ω＞0，
則ω的取值范圍0＜ω≤1；
（2）∵T=π，∴

π

ω

=π，即ω=1，
∴f（x）=sin（2x-

π

6

）+

1

2

+k，
∵x∈[-

π

6

，

π

6

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

2

，

π

6

]，
則當2x-

π

6

=

π

6

，即x=

π

6

時，f（x）取得最大值，
∴f（

π

6

）=2，及sin（2×

π

6

-

π

6

）+

1

2

+k=2，
解得：k=1．

點評：此題考查了三角函數(shù)的恒等變形，平面向量的數(shù)量積運算，三角函數(shù)的周期性及其求法，以及正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中利用三角函數(shù)的恒等變換及平面向量的數(shù)量積運算法則把f（x）的解析式化為一個角的正弦函數(shù)是解本題的關(guān)鍵．