Question

（本題滿分12分如圖，四邊形為矩形，且，，為上的動(dòng)點(diǎn)。

（1） 當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求證：；
（2） 設(shè)，在線段上存在這樣的點(diǎn)E，使得二面角的平面角大小為。試確定點(diǎn)E的位置。

Answer 1

方法一：（1） 證明：當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，，
從而為等腰直角三角形，
則，同理可得，∴，于是，………1分
又，且，∴，。………2分
∴，又，∴。……………………4分
（也可以利用三垂線定理證明，但必需指明三垂線定理）
（還可以分別算出PE，PD，DE三條邊的長(zhǎng)度，再利用勾股定理的逆定理得證，也給滿分）（2） 如圖過(guò)作于，連，則，………………………6分

∴為二面角的平面角．  ……………8分
設(shè)，則．
……………9分

于是　………………………………10分
，有解之得。
點(diǎn)在線段BC上距B點(diǎn)的處�！�……………………12分
方法二、向量方法．以為原點(diǎn)，所在直線為 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖………………………………1分

（1）不妨設(shè)，則，
從而，………………………2分
于是，
所以所以 ………………………………4分
（2）設(shè)，則，
則 ………………………………………………6分
易知向量為平面的一個(gè)法向量．設(shè)平面的法向量為，
則應(yīng)有 即解之得，令則，，
從而，………………………………………………………………10分
依題意，即，
解之得（舍去），………………………………………………11分
所以點(diǎn)在線段BC上距B點(diǎn)的處�！�……………………………………………12分

略