Question

已知函數(shù)f（x）=elnx+（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，k為正數(shù)）
（I）若f（x）在x處取得極值，且x是f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，求k的值；
（Ⅱ）若k∈（1，e]，求f（x）在區(qū)間[，1]上的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由f'（x）=0求出x，代入f（x）=0求得k的值；
（Ⅱ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)k的范圍得到導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的范圍，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)給出的區(qū)間分段，判出導(dǎo)函數(shù)在兩區(qū)間段內(nèi)的符號(hào)，得到原函數(shù)在區(qū)間[，1]上端點(diǎn)處取得最大值，通過比較兩個(gè)端點(diǎn)值的大小得到答案．
解答：解：（Ⅰ）因?yàn)閒（x）=elnx+，所以．
由已知得f'（x）=0，即，∴
又f（x）=0，即，∴k=1；
（Ⅱ），
∵1＜k≤e，∴，
由此得時(shí)，f（x）單調(diào)遞減；時(shí)，f（x）單調(diào)遞增．
故
又，當(dāng)ek-e＞k，即時(shí)，．
當(dāng)ek-e≤k，即時(shí)，f_max（x）=f（1）=k．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的最值，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，解答的關(guān)鍵是比較端點(diǎn)值的大小，是中高檔題．