Question

直線ax＋by＝1與圓x²＋y²＝1相交于A，B兩點(diǎn)(其中a，b是實(shí)數(shù))，且△AOB是直角三角形(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，則點(diǎn)P(a，b)與點(diǎn)(0,1)之間距離的最小值為_(kāi)_______．

Answer 1

－1

根據(jù)題意畫(huà)出圖形，如圖所示，

過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB于C，因?yàn)椤?i>AOB為等腰直角三角形，所以C為弦AB的中點(diǎn)，又|OA|＝|OB|＝1，根據(jù)勾股定理得|AB|＝，∴|OC|＝|AB|＝.
∴圓心到直線的距離為＝，即2a²＋b²＝2，即a²＝－b²＋1≥0.
∴－≤b≤.則點(diǎn)P(a，b)與點(diǎn)(0,1)之間距離d＝＝＝.
設(shè)f(b)＝b²－2b＋2＝(b－2)²，此函數(shù)為對(duì)稱(chēng)軸為x＝2的開(kāi)口向上的拋物線，∴當(dāng)－≤b≤<2時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)．
∵f()＝3－2，∴d的最小值為＝＝－1