Question

【題目】在△ABC中，角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別是a，b，c，已知cos2C﹣3cos（A+B）=1
（1）求角C的大小；
（2）若c= ，求△ABC周長(zhǎng)的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由cos2C﹣3cos（A+B）=1和A+B=π﹣C得，

2cos2C+3cosC﹣2=0，則（2cosC﹣1）（cosC+2）=0

解得cosC= 或cosC=﹣2（舍去），

因?yàn)?＜C＜π，所以C= ；

（2）解：方法1：由（1）得，A+B= ，則B= ﹣A，

由 得， ，

則a= ，b= ，…（8分）

則a+b= + = +

= +2 （ ）=

=

∵ ，∴ ，

則 ，即a+b= ≤ ，

綜上：a+b+c≤ ，即△ABC周長(zhǎng)的最大值是 ．

法2：由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，

則6=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab…（8分）

即6≥ =

解得（a+b）2≤24，則a+b≤ （當(dāng)且僅當(dāng)a=b= 時(shí)取到等號(hào)）

綜上：a+b+c≤ ，即△ABC周長(zhǎng)的最大值是 ．

【解析】（1）由內(nèi)角和定理、誘導(dǎo)公式、二倍角余弦公式的變形化簡(jiǎn)已知的等式，求出cosC的值，由內(nèi)角的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出C的值；（2）方法1：由（1）和內(nèi)角和定理表示出A、B的關(guān)系，由正弦定理求出a、b，代入a+b利用兩角和差的正弦公式化簡(jiǎn)，由A的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)求出a+b的范圍，即可求出△ABC周長(zhǎng)的最大值；方法2：由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，代入數(shù)據(jù)結(jié)合完全平方公式化簡(jiǎn)，利用基本不等式求出a+b的最大值，即可求出△ABC周長(zhǎng)的最大值．
【考點(diǎn)精析】利用正弦定理的定義和余弦定理的定義對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知正弦定理:；余弦定理:;;．