Question

【題目】如下圖，在多面體中，⊥平面,,且是邊長為2的等邊三角形，,與平面所成角的正弦值為.

（1）若是線段的中點(diǎn)，證明：⊥面；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2).

【解析】

試題分析：(1)取中點(diǎn),連接平面即是與平面所成的角,求出,以為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,取的中點(diǎn),則面.利用,⊥面；(2)求出平面的一個(gè)法向量和平面的一個(gè)法向量,利用兩個(gè)法向量的夾角求出二面角的平面角．

試題解析：（1）證明：取AB的中點(diǎn)，連結(jié),則面

∴即是與平面所成角,

取的中點(diǎn)為,以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則

取的中點(diǎn)為,則面

,

所以，所以面.

（2）解：由上面知：面，

又

取平面的一個(gè)法向量

又,,

由此得平面的一個(gè)法向量

則，所以二面角的平面角的余弦值為.