Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2，PD=CD=2.

（1）求異面直線PA與BC所成角的正切值；
（2）證明平面PDC⊥平面ABCD；
（3）求直線PB與平面ABCD所成角的正弦值.

Answer 1

1）2
（2）證明：由于底面是矩形，故,又由于，
因此平面PDC,而平面，所以平面平面.
（3）

(1)找出線面角是求解的關(guān)鍵，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823225825612580.png" style="vertical-align:middle;" />,所以可知為異面直線與所成的角.
如圖，

在四棱錐中，因?yàn)榈酌?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823225825269524.png" style="vertical-align:middle;" />是矩形，
所以且,又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823225825815511.png" style="vertical-align:middle;" />,故為異面直線與所成的角.
在中，,
所以，異面直線PA與BC所成角的正切值為2.
(2)證明平面PDC即可.
（3）在平面內(nèi)，過點(diǎn)P作交直線CD于點(diǎn)E，連接EB.因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823225825534440.png" style="vertical-align:middle;" />平面,故平面，由此得為直線PB與平面所成的角.余下的問題是解三角形求角.
在平面內(nèi)，過點(diǎn)P作交直線CD于點(diǎn)E，連接EB.
由于平面平面，而直線CD是平面與平面的交線，
故平面，由此得為直線PB與平面所成的角.
在中，由于可得.
在中，，
由平面，得平面，
因此,在中，.
在中，
所以直線PB與平面ABCD所成的角的正弦值為.